Algebra Lineare - Sottospazi
Salve a tutti..
Sareste cosi gentili da indicarmi un modo per risolvere tale esercizio?
Dati i sottospazi di $R^3$
$V = {(x, y, z) | x + y = 0}, W = {(x, y, z) | y + z = 0}$
verificare che per ogni vettore $v in V$ risulta $f(v) in V$ e che per ogni vettore $w in W$ risulta
$f(w) in W$.
grazie mille
carmelo
Sareste cosi gentili da indicarmi un modo per risolvere tale esercizio?
Dati i sottospazi di $R^3$
$V = {(x, y, z) | x + y = 0}, W = {(x, y, z) | y + z = 0}$
verificare che per ogni vettore $v in V$ risulta $f(v) in V$ e che per ogni vettore $w in W$ risulta
$f(w) in W$.
grazie mille
carmelo
Risposte
Sì ma $f(\cdot)$ come agisce?
caspita che velocità!! hai ragione ho scritto in modo incompleto... 
E' assegnato l'endomorfismo $f:R^3->R^3$ associato alla matrice
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) $
cn $k$ parametro reale.
credo che adesso nn manchi nient'altro...
grazie mille
carmelo
E' assegnato l'endomorfismo $f:R^3->R^3$ associato alla matrice
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) $
cn $k$ parametro reale.
credo che adesso nn manchi nient'altro...
grazie mille
carmelo
beh basta far vedere dove vanno le basi di quei due piani...
ad esempio una base per $V$ è $v_1=(1,-1,0)$ e $v_2=(0,0,1)$
e si ha che $f(v_1)=-v_1$ e $f(v_2)=2v_1 +v_2$
quindi si ha che $f(V) in V$
stessa cosa per $U$
ciao ciao ciao
ad esempio una base per $V$ è $v_1=(1,-1,0)$ e $v_2=(0,0,1)$
e si ha che $f(v_1)=-v_1$ e $f(v_2)=2v_1 +v_2$
quindi si ha che $f(V) in V$
stessa cosa per $U$
ciao ciao ciao
O ancora scrivere il generico vettore di $V$, cioè $v=((\alpha),(-\alpha),(\beta))$, per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, calcolare l'immagine di $v$ tramite $f$, e far vedere che per il vettore calcolato è soddisfatta l'equazione $x+y=0$, che è appunto l'equazione cartesiana di $V$. Ripetendo lo stesso ragionamento per $W$ si arriva alla tesi.
"miuemia":
beh basta far vedere dove vanno le basi di quei due piani...
ad esempio una base per $V$ è $v_1=(1,-1,0)$ e $v_2=(0,0,1)$
e si ha che $f(v_1)=-v_1$ e $f(v_2)=2v_1 +v_2$
quindi si ha che $f(V) in V$
stessa cosa per $U$
ciao ciao ciao
perdonatemi questa banale domanda: Come calcolo l'immagine di $v1$, cioè $f(v1)$?
please rispondetemi in modo molto esplicito
Moltiplica la matrice per $v_1$, il vettore risultante è l'immagine di $v_1$, cioè $f(v_1)$.
cioè
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) . ((x),(-x),(z)) $ ?
oppure
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) . ((1),(-1),(0)) $ ?
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) . ((x),(-x),(z)) $ ?
oppure
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) . ((1),(-1),(0)) $ ?
la seconda
Se $x$ e $z$ sono parametri liberi va bene anche la prima.
ciao raga...
dunque ho calcolato l'immagine:
$f(v_1) = e_1-e_2 = (-1,1,0) = -v_1 $
$f(v_2) = e_3 = (-2,2,1) = 2v_1+v_2 $.
Adesso come si verifico che $f(v) in V$?
Devo soddisfare l'equazione $x+y=0$?
Se si, come
grazie mille
carmelo
ps: scusate le banalità ma il 21 ho lo scritto di geometria e ho problemi cn i sottospazi...
dunque ho calcolato l'immagine:
$f(v_1) = e_1-e_2 = (-1,1,0) = -v_1 $
$f(v_2) = e_3 = (-2,2,1) = 2v_1+v_2 $.
Adesso come si verifico che $f(v) in V$?
Devo soddisfare l'equazione $x+y=0$?
Se si, come
grazie mille
carmelo
ps: scusate le banalità ma il 21 ho lo scritto di geometria e ho problemi cn i sottospazi...
"carmelo81":
ciao raga...
dunque ho calcolato l'immagine:
$f(v_1) = e_1-e_2 = (-1,1,0) = -v_1 $
$f(v_2) = e_3 = (-2,2,1) = 2v_1+v_2 $.
Adesso come si verifico che $f(v) in V$?
Devo soddisfare l'equazione $x+y=0$?
Se si, come
grazie mille
carmelo
ps: scusate le banalità ma il 21 ho lo scritto di geometria e ho problemi cn i sottospazi...
Il vettore $((-1),(1),(0))$ soddisfa $x+y=0$? Dato che per questo vettore $x=(-1)$ e $y=1$ allora $x+y=-1+1=0$ che soddisfa l'equazione, percià appartiene a $V$.
grazie mille!
uhm...Sbirciando la soluzione dell'esercizio (per V) vedo:
$f(v)=(-x+2z,x-2z,z) in V$
che la scrive cn il vettore generico $v=(x,-x,z)$...ma come trova $(-x+2z,x-2z,z)$ ?
grazie ancora
carmelo
uhm...Sbirciando la soluzione dell'esercizio (per V) vedo:
$f(v)=(-x+2z,x-2z,z) in V$
che la scrive cn il vettore generico $v=(x,-x,z)$...ma come trova $(-x+2z,x-2z,z)$ ?
grazie ancora
carmelo
Suppongo moltiplicando la matrice per il generico vettore.
rieccomi
moltiplicando la matrice per il generico vettore
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) \cdot ((x),(-x),(z)) $
non risulta $x=0, z=0, AAy $ ?
oppure sbaglio nei passaggi?
grazie ancora
moltiplicando la matrice per il generico vettore
$M(f)=((1,2,2),(k-1,k-2,-2),(1-k,1-k,1)) \cdot ((x),(-x),(z)) $
non risulta $x=0, z=0, AAy $ ?
oppure sbaglio nei passaggi?
grazie ancora
Sbagli nei passaggi, perché viene:
$((x-2x+2z),(kx-x-kx+2x-2z),(x-kx-x+kx+z))=((-x+2z),(x-2z),(z))$
$((x-2x+2z),(kx-x-kx+2x-2z),(x-kx-x+kx+z))=((-x+2z),(x-2z),(z))$
ah ok, ho capito, sbagliavo nel porre il sistema =0...
grazie: siete stati utilissimi!!
Volevo però approfittare nel postare altri esercizi per capire il meccanismo per risolverli: spero nn me ne vogliate a male
Altro esercizio:
Dato il sottospazio $V={(x,y,z) : x-y=0} sube R^3$, determinare $f(V)={f(v) : v in V}$.
Verificare che $f(V) sube V$e precisare in quali casi $f(V)=V$.
dati:
$f:R^3->R^3$ associato alla matrice $M(f)=((h+1,-2h,2h),(2,-h-1,2h),(2,-h-2,2h+1)) $.
Allora, grazie a quello che mi avete spiegato prima, ho ricavato $f(v_1)$ e $f(v_2)$ ed ho verificato che appartengono a $V$.
prima domanda: $f(V)=L{f(v_1),f(v_2)} sube V$, se le immagini appartengono a $V$??
seconda domanda: cosa faccio per capire se $f(V)=V$?
Grazie mille
grazie: siete stati utilissimi!!
Volevo però approfittare nel postare altri esercizi per capire il meccanismo per risolverli: spero nn me ne vogliate a male
Altro esercizio:
Dato il sottospazio $V={(x,y,z) : x-y=0} sube R^3$, determinare $f(V)={f(v) : v in V}$.
Verificare che $f(V) sube V$e precisare in quali casi $f(V)=V$.
dati:
$f:R^3->R^3$ associato alla matrice $M(f)=((h+1,-2h,2h),(2,-h-1,2h),(2,-h-2,2h+1)) $.
Allora, grazie a quello che mi avete spiegato prima, ho ricavato $f(v_1)$ e $f(v_2)$ ed ho verificato che appartengono a $V$.
prima domanda: $f(V)=L{f(v_1),f(v_2)} sube V$, se le immagini appartengono a $V$??
seconda domanda: cosa faccio per capire se $f(V)=V$?
Grazie mille
Il generico vettore appartenente a $V$ si scrive come $((\alpha),(\alpha),(\beta))$, per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Facendo il prodotto fra la matrice e il vettore $((\alpha),(\alpha),(\beta))$ ottieni il generico vettore appartenente a $f(V)$. Questo vettore dipenderà da $h$, e a seconda dei valori di $h$ risulterà $f(V)=V$ o meno.
Facendo il prodotto fra la matrice e il vettore $((\alpha),(\alpha),(\beta))$ ottieni il generico vettore appartenente a $f(V)$. Questo vettore dipenderà da $h$, e a seconda dei valori di $h$ risulterà $f(V)=V$ o meno.
ok , penso di aver risolto:
ho trovato il valore di h che è $h=-1$;
quindi se $h!=-1, => f(V) = V$
mentre se $h=-1, => f(V) = (2,2,1) sube V$
penso sia giusto cosi, di questo nn ho la soluzione.
Per stasera posto quest'ultimo:
Dato il sottospazio $V={(x,y,z) : x-y+z=0} sube R^3$, verificare che $f(V)={f(v) : v in V} =V $.
dati:
$f:R^3->R^3$ associato alla matrice $M(f)=((h,1-h,h-1),(h+1,-h,h-1),(h+1,-h-1,h)) $.
io arrivo a trovare sempre le immagini e verifico che appartengono a V, ma poi che devo fare? nn riesco a capire.
ps: mi dite cortesemente in modo letterario cosa devo trovare in quest'uiltimo esercizio?
grazie ancora
ho trovato il valore di h che è $h=-1$;
quindi se $h!=-1, => f(V) = V$
mentre se $h=-1, => f(V) = (2,2,1) sube V$
penso sia giusto cosi, di questo nn ho la soluzione.
Per stasera posto quest'ultimo:
Dato il sottospazio $V={(x,y,z) : x-y+z=0} sube R^3$, verificare che $f(V)={f(v) : v in V} =V $.
dati:
$f:R^3->R^3$ associato alla matrice $M(f)=((h,1-h,h-1),(h+1,-h,h-1),(h+1,-h-1,h)) $.
io arrivo a trovare sempre le immagini e verifico che appartengono a V, ma poi che devo fare? nn riesco a capire.
ps: mi dite cortesemente in modo letterario cosa devo trovare in quest'uiltimo esercizio?
grazie ancora
Scrivi il generico vettore appartenente a $V$, moltiplica la matrice per il vettore in questione, così trovi il generico vettore di $f(V)$. Per dimostrare che $V=f(V)$ devi far vedere che i generici vettori che trovi generano gli stessi spazi.
Buon lunedi a tutti...volevo postare un altro paio di esercizi sui sottospazi come avevo già anticipato ieri sera...
Dato il sottospazio $V={(x,y,z) : x-y+z=0} sube R^3$, determinare al variare di h il sottospazio $W=f(V)={f(v) : v in V} sube R^3 $.
e calcolare i sottospazi $VnnW, V+W$, precisando in quali casi la somma è diretta.
Dati:
$f:R^3->R^3$ associato alla matrice $M(f)=((-2-h,2+2h,2+2h),(-1-h,1+2h,2+2h),(0,0,-1)) $.
Adesso sn già in grado di determinare il sottospazio $W$.
L'unico mio dubbio riguarda l'intersezione e la somma: come si calcolano $VnnW, V+W$?
Grazie mille
carmelo
Dato il sottospazio $V={(x,y,z) : x-y+z=0} sube R^3$, determinare al variare di h il sottospazio $W=f(V)={f(v) : v in V} sube R^3 $.
e calcolare i sottospazi $VnnW, V+W$, precisando in quali casi la somma è diretta.
Dati:
$f:R^3->R^3$ associato alla matrice $M(f)=((-2-h,2+2h,2+2h),(-1-h,1+2h,2+2h),(0,0,-1)) $.
Adesso sn già in grado di determinare il sottospazio $W$.
L'unico mio dubbio riguarda l'intersezione e la somma: come si calcolano $VnnW, V+W$?
Grazie mille
carmelo
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