Algebra Lineare - Sottospazi

[carmelo811]

Salve a tutti..
Sareste cosi gentili da indicarmi un modo per risolvere tale esercizio?
Dati i sottospazi di $R^3$
$V = {(x, y, z) | x + y = 0}, W = {(x, y, z) | y + z = 0}$
verificare che per ogni vettore $v in V$ risulta $f(v) in V$ e che per ogni vettore $w in W$ risulta
$f(w) in W$.

grazie mille
carmelo

[_Tipper]

Per l'intersezione ti conviene mettere a sistema le equazioni cartesiane degli spazi.

Per la somma io considererei i vettori delle basi di $V$ e $W$, con tali vettori costruirei una matrice (dove i vettori sono le righe, ad esempio), e riducendo la matrice a scala si troverebbero i vettori che compongono una base di $U+W$, cioè i vettori riga fra loro linearmente indipendenti.

[carmelo811]

Ciao e grazie per la risposta.
Ma se invece dell'equazione cartesiana ho dei vettori come ad esempio:
$V=L(f(v_1), f(v_2))=L(1,0,1),(h-2,h-1,h-2)$
$W=L(f(w_1), f(w_2))=L(-3,-1,-2),(4,1,3)$
l'intersezione $VnnW$ come si trova?
grazie

[_Tipper]

Se dimostri che i quattro vettori sono linearmente indipendenti (in questo caso non possono esserlo) allora l'intersezione è lo spazio nullo, se lo span di quei quattro vettori ha dimensione $3$ allora devi fare in modo di scrivere nelle due basi lo stesso vettore, i tre vettori quindi sarebbero una base dell'intersezione... comunque, la strada che scelgo sempre io, è quella di passare dalle equazioni cartesiane.

[carmelo811]

e come faccio a passare alle eq cartesiane da quei vettori?
mi fai un esempio?
grazie ancora

[_Tipper]

Un vettore appartenente a $W$ si scrive come combinazione lineare degli elementi della base, quindi il generico vettore di $W$ si scrive come: $\alpha ((-3),(-1),(-2)) + \beta ((4),(1),(3)) = ((-3 \alpha + 4 \beta),(-\alpha + \beta),(-2 \alpha + 3 \beta))$

Ora, per passare all'equazione cartesiana, basta porre:

$\{(x=-3 \alpha + 4 \beta),(y=-\alpha + \beta),(z=-2 \alpha + 3 \beta):}$

Ora non resta che eliminare il parametri $\alpha$ e $\beta$, puoi iniziare, ad esempio, notando dalla seconda che $\beta = y + \alpha$.

Sostituendo questo valore nella prima si ottiene: $x=-3\alpha + 4y + 4\alpha$, cioè $\alpha = x-4y$, quindi, al tempo stesso $\beta = y + x - 4y$.

Sostituendo questi valori nella terza si ottiene l'equazione cartesiana di $W$, che è: $z= -2(x-4y) + 3(y+x-4y)$.

[carmelo811]

Ciao e grazie ancora...
per $V$ le soluzioni sono $x=z$ e $y=beta(h-1)$, confermate?
La $y$ rimane cosi?
mi sn bloccato

[_Tipper]

Nell'equazione cartesiana non ci devono essere parametri liberi, se ottieni $x=z$ e $y=\beta(h-1)$ significa che $y$ può variare liberamente, senza restrizioni, in questo caso l'equazione cartesiana sarebbe semplicemente $x=z$.