Algebra lineare : S genera W come stabilirlo?

[farohp]

Ciao a tutti pongo la domanda perchè ne tramite esercizi, ne tramite la spiegazione del prof ne tramite la guida qui sul forum sono riuscito a capire come presi un insieme di vettori dentro l'insieme S come si stabilisce se l'insieme S genera o meno W..

Esempio.. Se io voglio trovare la base di ;

W= (x+y,x-y+2z,x+z )con x,y,z,€R determinare base e la dimensione di R^3


come prima cosa cerco di trovare la combinazione lineare quindi : (x,x,x) + (y,-y,0) + (0,2z,z)

->raccolgo: x(1,1,1) + y(1,-1,0) + z(0,2,1) quindi avrò che S è composto da -> v1=(1,1,1) v2=(1,-1,0) e v3 (0,2,1)
ora come faccio a cpaire se questi tre vettori mi generano tutto il piano W ?

Inoltre non mi è neanche chiaro come si fa a stabilire se S è linearmente indipendente o dipendente.. So che si usa il sistema ma cosa devo trovare?...
grazie

[^Tipper^1]

"farohp":

Inoltre non mi è neanche chiaro come si fa a stabilire se S è linearmente indipendente o dipendente.. So che si usa il sistema ma cosa devo trovare?...
grazie

O fai il determinante oppure $alphav_1+betav_2+gammav_3=0$ e risolvi il sistema

[farohp]

intanto grazie per la risposta, effettivamente applicando la formula ora ho capito come si fa a vedere se un insieme di vettori contenuti in S è lin dipendende o indipendente..

però rimane sempre il problema pricnipale, come posso trovare,seguendo l'esempio fatto se S genera o no W ?..