[Algebra lineare] problema su matrice associata

[dave031]

non riesco a capire la soluzione di un esercizio, per cui mi chiedevo se qualcuno di voi potesse darmi una mano.

Il problema è il seguente: V è uno spazio vettoriale sul campo Q dei numeri razionali.
ho un'applicazione lineare $f:V->V$ la cui matrice associata è la seguente:

$0 0 0 2$
$1 0 0 0$
$0 1 0 0$
$0 0 1 0$

bisogna dire se esiste un intero positivo n tale che $f^n=I$ dove I è la matrice identica ben conosciuta:

$1 0 0 0$
$0 1 0 0$
$0 0 1 0$
$0 0 0 1$

help

[franced]

"dave03":non riesco a capire la soluzione di un esercizio, per cui mi chiedevo se qualcuno di voi potesse darmi una mano.

Il problema è il seguente: V è uno spazio vettoriale sul campo Q dei numeri razionali.
ho un'applicazione lineare $f:V->V$ la cui matrice associata è la seguente:

$0 0 0 2$
$1 0 0 0$
$0 1 0 0$
$0 0 1 0$

bisogna dire se esiste un intero n tale che $f^n=I$ dove I è la matrice identica ben conosciuta:

$1 0 0 0$
$0 1 0 0$
$0 0 1 0$
$0 0 0 1$

help

Guarda il determinante:

$det(f) = -2$ (sviluppa secondo la prima riga, ad esempio)

quindi $det(f^n) = (-2)^n ne 1$

quindi non è possibile trovare un $n$ tale che $f^n = Id_n$

[dave031]

ma se n=0 allora
$f^0=1$

...quindi l'intero esisterebbe...perchè lo zero non va bene ? perchè si chiede un "intero positivo" n>0? o per intero positivo si intende sempre n>=0 ?

[dave031]

nessuno ?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

E' sottinteso che n>0 (altrimenti si potrebbe scegliere n=0 qualunque sia la matrice, e l'esercizio perderebbe di significato) e comunque in genere "positivo" significa "maggiore di zero".

[dave031]

intanto ti ringrazio di aver appoggiato la mia opinione...
una domanda di questo tipo il mio prof l'ha data all'esame, e dato che aveva sentenziato "tutto quello che dovete sapere è lì nel testo" allora un po' di dubbi mi erano venuti

grazie!