Algebra lineare problema con applicazione lineare

[dave031]

ho difficoltà con questo esercizio...mi dareste una mano per favore?

si dica se esiste un'applicazione lineare $f:K^3->K^2$, dove K è un campo, tale che:

f((5,0,3))=(1,0)
f((3,-2,1))=(0,1)
f((1,1,2))=(1,-1)

nei casi K=R (numeri reali), K=$Z_5$ (interi modulo 5), K=$Z_7$ (interi modulo 7)

ne sarei molto grato se qualcuno mi dasse un consiglio su come procedere...grazie a tutti della disponibilità

[dave031]

nessuno sa dirmi nulla ?

[franced]

Nel caso reale basta che tu veda se i 3 vettori di $RR^3$ sono lin. indipendenti.

[dave031]

perchè basta che calcoli il determinante? ...non capisco

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se i tre vettori (5,0,3), (3,-2,1), (1,1,2) sono linearmente indipendenti non ci sono problemi (perché una applicazione lineare è decisa dalle immagini dei vettori di una base, qualunque esse siano). Ma se invece essi sono linearmente dipendenti, devi verificare la compatibilità.

[dave031]

"Martino":Se i tre vettori (5,0,3), (3,-2,1), (1,1,2) sono linearmente indipendenti non ci sono problemi (perché una applicazione lineare è decisa dalle immagini dei vettori di una base, qualunque esse siano). Ma se invece essi sono linearmente dipendenti, devi verificare la compatibilità.

grazie martino

[nirvana2]

"dave03":perchè basta che calcoli il determinante? ...non capisco

Sono indipendenti se il determinante della matrice $A$ che ha come colonne quei vettori è diverso da zero. Questo significa che il rango della matrice è uguale a $3$, e lo vedi risolvendo il sistema $A*x=0$ dove $x=(u,k,j)$
Infatti i vettori sono indipendenti se e solo se $u*v_1 + k*v_2 + j*v_3 = 0$ con $u=k=j=0$ e se lo metti a forma di sistema come ho detto sopra, questo lo trovi solo se il rango è uguale a tre, e quindi hai solo una soluzione, la soluzione nulla...
Ciao.