Algebra Lineare - Preliminari

[Nulier]

Ho iniziato da poco il corso di Algebra Lineare all'università, e siamo partiti con alcuni richiami su argomenti precedenti necessari alle spiegazioni successive.
Ho avuto problemi, però, a reperire informazioni su questo tipo di notazione, trovata negli esercizi, ma non presente nelle dispense del professore né nel libro adottato:

Siano $X, Y$ insiemi. Qual è il significato di $Y^X$?

Grazie in anticipo

[vict85]

La notazione non è proprio standard, in che contesto è stato usato? O meglio, fai un esempio di una frase usata dal libro. Comunque penso l'insieme delle funzioni da \(X\) a \(Y\).

http://en.wikipedia.org/wiki/Function_space

[Nulier]

Avendola introdotta in ambito insiemistico si riferisce sicuramente alla prima definizione del link, ossia la stessa che hai citato nella tua risposta.
Non riesco a penetrarne però il significato.
Poniamo di avere due insiemi, ad esempio: $X = {0, 1, 2, 4, 5}$ e $Y = {3, 4, 6, 8}$. Quale sarebbe $Y^X$? Quali sono i suoi elementi e la sua cardinalità? C'entra qualcosa la definizione di insieme delle parti?

[Gendarmevariante1]

Confermo, anche noi nel corso di Algebra I usavamo questa scrittura per indicare l'insieme delle funzioni da Y a X

[vict85]

Penso sia inoltre utile sapere che l'insieme delle parti di \(X\) è, alle volte, segnato come \(2^{X}\). Io personalmente trovo crei un po' confusione con il fatto che \(2^{X}\) sia anche la sua cardinalità ma immagino che nessuno abbia mai avuto problemi a riguardo.

[perplesso1]

Di solito con $2^X$ si intende l'insieme delle funzioni di $X$ in ${0,1}$ quindi $2^X = {0,1}^X$, non ci sono problemi notazionali ricordando che nella cotruzione standard dei numeri naturali $2={0,1}$ (ed in generale $n= {0,1,2,...,n-1}$). Il fatto è questo: l'insieme $P(X)$ delle parti di $X$ è equipotente all'insieme $2^X$, tramite la biezione che associa ad ogni sottoinsieme $Y \subset X$ la sua funzione caratteristica, cioè la funzione $f_Y: X -> 2$ definita da

$f_Y(x) = 1$ se $x \in Y$
$f_Y(x)=0$ se $x \notin Y$

è facile verificare che la funzione $Y \in P(X) -> f_Y \in 2^X$ risulta biettiva.

[Nulier]

Ora mi è tutto chiaro! Grazie mille per la disponibilità

[vict85]

"perplesso":Di solito con $2^X$ si intende l'insieme delle funzioni di $X$ in ${0,1}$ quindi $2^X = {0,1}^X$, non ci sono problemi notazionali ricordando che nella cotruzione standard dei numeri naturali $2={0,1}$ (ed in generale $n= {0,1,2,...,n-1}$). Il fatto è questo: l'insieme $P(X)$ delle parti di $X$ è equipotente all'insieme $2^X$, tramite la biezione che associa ad ogni sottoinsieme $Y \subset X$ la sua funzione caratteristica, cioè la funzione $f_Y: X -> 2$ definita da

$f_Y(x) = 1$ se $x \in Y$
$f_Y(x)=0$ se $x \notin Y$

è facile verificare che la funzione $Y \in P(X) -> f_Y \in 2^X$ risulta biettiva.

Si, ripensandoci hai ragione: non ci sono problemi di notazione. In effetti \(\displaystyle \lvert \mathcal{P}(X)\rvert = 2^{\lvert X \rvert}\) che non può essere confuso con il \(\displaystyle 2^X \), specialmente se segniamo la cardinalità con un simbolo diverso. Di per se penso che la notazione \(\displaystyle Y^X \) sia abbastanza comoda una volta che ci prendi la mano, inoltre la notazione estesa può essere un po' troppo tediosa da scrivere se devi usarla spesso.