[algebra lineare] matrice triangolare superiore
Dati i vettori $v1 = (1, 0, 0)$, $v2 = (1, 1, 2)$, $v3 = (0, 1, 1)$ $∈ R^3$, sia $f$ un
endomorfismo di $R^3$ avente 1 come unico autovalore, con molteplicità algebrica 3, e tale
che $f(v1) = v2$,$f(v2) = v3$.
ho trovato la matrice associata rispetto a base (v1,v2,v3) e alla base canonica e, sono rispettivamente:
v $((0, 0, 1),(1,0,-3),(0,1,3))$
c $((1,-3, 1),(1,0,0),(2,-5,2))$
Si trovi una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice di $f$ sia triangolare superiore.
Qualcuno saprebbe risolvermi questo punto? Grazie!
endomorfismo di $R^3$ avente 1 come unico autovalore, con molteplicità algebrica 3, e tale
che $f(v1) = v2$,$f(v2) = v3$.
ho trovato la matrice associata rispetto a base (v1,v2,v3) e alla base canonica e, sono rispettivamente:
v $((0, 0, 1),(1,0,-3),(0,1,3))$
c $((1,-3, 1),(1,0,0),(2,-5,2))$
Si trovi una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice di $f$ sia triangolare superiore.
Qualcuno saprebbe risolvermi questo punto? Grazie!
Risposte
Hai fatto bene a calcolarti una matrice associata (te ne bastava una!).
il primo vettore non puoi fare altro che sceglierlo tra gli autospazi di autovalore 1 (perchè?).
Gli autovettori di autovalore 1 della matrice sono del tipo $(x,-2x,x)$ per ogni x reale. Quindi il vettore di coordinate $z_1=(1,-2,1)$ viene mandato proprio in se stesso. Buon segno.
il primo vettore non puoi fare altro che sceglierlo tra gli autospazi di autovalore 1 (perchè?).
Gli autovettori di autovalore 1 della matrice sono del tipo $(x,-2x,x)$ per ogni x reale. Quindi il vettore di coordinate $z_1=(1,-2,1)$ viene mandato proprio in se stesso. Buon segno.
Non capisco bene cosa hai fatto... che vettori dovrei scegliere per fare si che la matrice diventi triangolare superiore? e che procedimento dovrei seguire?
Infatti era solo una parte del procedimento...ieri ero un pò stanco, ci lavoro oggi...! Intanto rimane inalterata la prima cosa da fare: il primo vettore della base a bandiera è sicuramente nell'autospazio di autovalore 1, che risulta essere lo span di (1,-2,1). Lavoro per gli altri due vettori di base
L'ho risolto. Quello che mi serve è un altro vettore (x,y,z) tale che
$A(x,y,z)=\alpha(1,-2,1)+(x,y,z)$
dove A è la prima matrice che hai scritto. Perchè questo ragionamento? Perchè voglio che l'applicazione A mi mandi (x,y,z) in un vettore che sarà un certo multiplo del primo vettore (1,-2,1), più se stesso (se la matrice è triangolare, e 1 è radice di ordine tre del polinomio caratteristico, evidentemente la matrice triangolarizzata non può che contenere 1 come coordinata di se stesso, non so se sono chiaro). Risolvendo il sistema trovo
$\alpha=2$
$x=-y-z$.
Poniamo $y=0,z=1$. Otteniamo il vettore
$z_2 = (-1,0,1)$.
Noi abbiamo scelto il nostro vettore proprio perchè sia
$A(z_2) = 2 ( 1,-2,1) + (-1,0,1)$
Per cui la seconda colonna della nuova matrice, che contiene appunto le coordinate dell'immagine di z_2 rispetto alla nuova base, sarà (2,1,0).
Non ci resta che completare a base $z_1,z_2$. Si vede facilmente che $z_3= (1,0,0)$ fa proprio al caso nostro (nel senso che completa a base z1,z2. La base
$B={z_1,z_2,z_3}$
triangolarizza la matrice A, e di conseguenza i vettori che hanno coordinate $z_1,z_2,z_3$ rispetto alla base ${v_1,v_2,v_3}$ triangolarizzano il nostro endomorfismo.
P.S. Se fai questo ragionamento con la matrice associata rispetto alla base canonica invece che con la prima, ti risparmi la fatica finale di ricalcolarti i vettori riapplicando l'operatore "passaggio alle coordinate".
$A(x,y,z)=\alpha(1,-2,1)+(x,y,z)$
dove A è la prima matrice che hai scritto. Perchè questo ragionamento? Perchè voglio che l'applicazione A mi mandi (x,y,z) in un vettore che sarà un certo multiplo del primo vettore (1,-2,1), più se stesso (se la matrice è triangolare, e 1 è radice di ordine tre del polinomio caratteristico, evidentemente la matrice triangolarizzata non può che contenere 1 come coordinata di se stesso, non so se sono chiaro). Risolvendo il sistema trovo
$\alpha=2$
$x=-y-z$.
Poniamo $y=0,z=1$. Otteniamo il vettore
$z_2 = (-1,0,1)$.
Noi abbiamo scelto il nostro vettore proprio perchè sia
$A(z_2) = 2 ( 1,-2,1) + (-1,0,1)$
Per cui la seconda colonna della nuova matrice, che contiene appunto le coordinate dell'immagine di z_2 rispetto alla nuova base, sarà (2,1,0).
Non ci resta che completare a base $z_1,z_2$. Si vede facilmente che $z_3= (1,0,0)$ fa proprio al caso nostro (nel senso che completa a base z1,z2. La base
$B={z_1,z_2,z_3}$
triangolarizza la matrice A, e di conseguenza i vettori che hanno coordinate $z_1,z_2,z_3$ rispetto alla base ${v_1,v_2,v_3}$ triangolarizzano il nostro endomorfismo.
P.S. Se fai questo ragionamento con la matrice associata rispetto alla base canonica invece che con la prima, ti risparmi la fatica finale di ricalcolarti i vettori riapplicando l'operatore "passaggio alle coordinate".
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