[ALGEBRA LINEARE] matrice associata alla funzione lineare

[circe123]

Siano $v1 = (-2; 1;-1)$, $v2 = (1; 0; 1)$, $v3 = (1; 0;-1)$, $v4 = (1; 1; 3)$,

$w2 = (-1; 1; 0)$,$w3 = (5;-3; 2)$,$w4 = (t; 5;-1)$ vettori di $R^3$.

Si dica per quale valore di t esiste una funzione lineare $f : R^3 -> R^3$ tale che $v1$ appartenga a $Ker(f)$ e
$f(vi) = wi$, per $i = 2; 3; 4$.

Io ho provato ponendo la matrice associata alla funzione con colonne i vettori $w2$,$w3$, $w4$, ma non ottengo ciò che voglio, in quanto la matrice
$((-1,5,t),(1,-3,5),(0,2,-1))$*$(-2,1,-1)$ non appartiene a $ker(f)$, poichè ottengo la seconda e la terza riga diverse da 0, se moltiplicate per il nucleo.


Qualcuno potrebbe aiutarmi? grazie!!!

[Sk_Anonymous]

Prova a determinare la f tale che sia:
$f(v_1)=(0,0,0);f(v_2)=w_2;f(v_3)=w_3$
Dovresti trovare che è:
$f(x,y,z)=(2x+y-3z,-x+2z,x+y-z)$
Imponi poi che sia $fv_4)=w_4$
Dovresti trovare che è:
$t=-6$

[circe123]

non ho capito come hai fatto per trovare le equazioni di f(x,y,z)...

[Sk_Anonymous]

Si tratta di procedimenti standard che dovresti conoscere. Ti espongo quello che normalmente uso io.
Intanto stabilisci che i vettori $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti ( fai tu la verifica...). Poi, detto
$((x),(y),(z))$ il vettore generico di $mathbb{R^3}$, lo esprimi in funzione di $v_1,v_2,v_3$ ed hai :
$((x),(y),(z))=y v_1+(1/2x+3/2y+1/2z)v_2+(1/2x+1/2y-1/2)v_3$
Passando alle immagini si ottiene che:
$f((x),(y),(z))=y f(v_1)+(1/2x+3/2y+1/2z)f(v_2)+(1/2x+1/2y-1/2)f(v_3)$
Cioè:
$f((x),(y),(z))=y ((0),(0),(0))+(1/2x+3/2y+1/2z)((-1),(1),(0))+(1/2x+1/2y-1/2z)((5),(-3),(2))$
Fatti i calcoli, avrai la f che ti ho già indicato.
La matrice corrispondente ad f è :
$ ((2,1,-3),(-1,0,2),(1,1,-1)) $
Adesso calcoli l'immagine di $v_4$:
$f(v_4)=((2,1,-3),(-1,0,2),(1,1,-1))cdot ((1),(1),(3))=((-6),(5),(-1))$
Eguagli tale immagine a $w_4$ e ricavi che $t=-6$

[circe123]

Capito, grazie mille