[Algebra Lineare] Forme quadratiche e segnatura

[Luc@s]

Ho

$C = [[2,-1,5],[-1,0,\frac{1}{3}], [5,\frac{1}{3},-3]]$

Per trovare la sua forma quadratica, faccio (avendo $^tX[X_1,X_2,X_3] $) $ ^tX C X $ e ottengo $+2X^2_1 -2X_1X_2 + 10X_1X_3 + \frac{2}{3}X_2X_3 -X^2_3 $
Posso quindi dire che la segnatura è $(3,2)$???

Ciauz

[Luc@s]

ho appena scoperto che la segnatura e una terna $(+,-,0)$ dipendente dagli autovalori.
Quindi una volta trovati con il polinomio caratteristico ho 4 dati
1) $m_g= dim( V(\lambda) )$
2) $m_a= esp(\lambda)$
3) $s(A)$ la segnatura $(+,-,0)$
4) l'autospazio $V(\lambda)$ (risolvendo $(A -\lambda I)X$)

[gugo82]

"Luc@s":Ho

$C = [[2,-1,5],[-1,0,\frac{1}{3}], [5,\frac{1}{3},-3]]$

Per trovare la sua forma quadratica, faccio (avendo $^tX[X_1,X_2,X_3] $) $ ^tX C X $ e ottengo $+2X^2_1 -2X_1X_2 + 10X_1X_3 + \frac{2}{3}X_2X_3 -X^2_3 $
Posso quindi dire che la segnatura è $(3,2)$???

Ciauz

Determinare la segnatura di una forma quadratica equivale a determinare il numero $n_+$ di autovalori positivi, il numero $n_-$di autovalori negativi e la molteplicità $n_0$ dell'autovalore nullo della matrice simmetrica canonicamente associata alla forma quadratica (quindi ha senso parlare di autovalori positivi e negativi, in quanto ogni matrice simmetrica ha unicamente autovalori reali).

Pertanto, conoscendo il polinomio caratteristico associato alla matrice $C$, puoi determinare la segnatura della tua forma quadratica facilmente: se il polinomio caratteristico è del tipo $p(lambda)=lambda^r*q(lambda)$, con $r in NNcup {0}$ e $q(lambda)$ polinomio a coefficienti reali tale che $q(0)!=0$, allora la tua matrice ha l'autovalore nullo con molteplicità $n_0=r$ ed il numero di autovalori positivi e negativi si determinano applicando la regola di Cartesio al polinomio $q(lambda)$.

Ricorda che la somma dei tre numeri $n_+, n_-, n_0$ deve essere uguale alla dimensione della matrice.

[Luc@s]

"gugo82":
se il polinomio caratteristico è del tipo $p(\lambda)=lambda^r*q(\lambda)$, con $r \in NNcup {0}$ e $q(\lambda)$ polinomio a coefficienti reali tale che $q(0)!=0$, allora la tua matrice ha l'autovalore nullo con molteplicità $n_0=r$ ed il numero di autovalori positivi e negativi si determinano applicando la regola di Cartesio al polinomio $q(\lambda)$.

Non mi è famigliare questa regola anche se mi sa che è molto importante.

"gugo82":
Ricorda che la somma dei tre numeri $n_+, n_-, n_0$ deve essere uguale alla dimensione della matrice.

Molte grazie per il tip


Ciauz

[gugo82]

"Luc@s":[quote="gugo82"]
se il polinomio caratteristico è del tipo $p(\lambda)=lambda^r*q(\lambda)$, con $r \in NNcup {0}$ e $q(\lambda)$ polinomio a coefficienti reali tale che $q(0)!=0$, allora la tua matrice ha l'autovalore nullo con molteplicità $n_0=r$ ed il numero di autovalori positivi e negativi si determinano applicando la regola di Cartesio al polinomio $q(\lambda)$.

Non mi è famigliare questa regola anche se mi sa che è molto importante.
[/quote]
Mi pare che la si insegni alle superiori.

Per applicare la regola di Cartesio, però, devi già sapere che le radici del polinomio sono tutte reali e non nulle (fortunatamente questo è il caso in cui ti trovi!), altrimenti puoi incappare in errori macroscopici: ad esempio applicando la regola al polinomio $X^2+X+1$ concluderesti che esso ha due radici negative (poichè i segni dei coefficienti sono $+,+,+$ e ci sono due permanenze di segno) contro il fatto che esso non ha radici in $RR$ (il discriminante è $Delta=1-4=-3<0$)!