Algebra lineare esercizio
Ciao a tutti, devo fare un po di allenamento per un esame, ma gli esercizi che ci ha dato il professore non hanno le soluzioni quindi mi rivolgo a voi... Grazie in anticipo!
Siano v1= (2,1,k,3) v2=(0,1/2, -1, 0) v3= (2, k, 0, 2), v4= (2,0, 3, 3).
1) si dica per quali valori di k appartenente ad R i vettori v1,..,v4 sono linearmente indipendenti, generano R^4 o ne formano una base. Inoltre per i valori di k per bui vi (v di indice i) non sono indipendenti, si scriva esplicitamente una loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli uguale al vettore nullo.
2) per i valori di k per cui i vi (v di indice i ) formano una base di R^4, si determinino le coordinate di (1,1,1,1)
3) per i valori di k per cui S non vegnera R^4, si determini una base del sottospazio da loro generato
Grazie mille a tutti!
Siano v1= (2,1,k,3) v2=(0,1/2, -1, 0) v3= (2, k, 0, 2), v4= (2,0, 3, 3).
1) si dica per quali valori di k appartenente ad R i vettori v1,..,v4 sono linearmente indipendenti, generano R^4 o ne formano una base. Inoltre per i valori di k per bui vi (v di indice i) non sono indipendenti, si scriva esplicitamente una loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli uguale al vettore nullo.
2) per i valori di k per cui i vi (v di indice i ) formano una base di R^4, si determinino le coordinate di (1,1,1,1)
3) per i valori di k per cui S non vegnera R^4, si determini una base del sottospazio da loro generato
Grazie mille a tutti!
Risposte
Ciao, questa è la sezione di algebra astratta, algebra lineare è con Geometria, ti conviene potare là!
[xdom="vict85"]Sposto in Geometria e Algebra lineare[/xdom]
@Frink: è meglio se questi spostamenti vengano lasciati a noi. Altrimenti, come in questo caso, si finisce per avere del crossposting che troviamo più fastidioso.
@Frink: è meglio se questi spostamenti vengano lasciati a noi. Altrimenti, come in questo caso, si finisce per avere del crossposting che troviamo più fastidioso.
Venendo al tuo problema, idee di risoluzione? Non siamo noi che dobbiamo far pratica per l'esame.
Il forum dispone di un sistema per l'inserimento delle formule. Ti conviene incominciare ad impratichirti.
Il forum dispone di un sistema per l'inserimento delle formule. Ti conviene incominciare ad impratichirti.
@vict85 Giustamente, solo che ieri ero di fretta e ho postato solamente l'esercizio... Come idee risolutive avrei:
1) Allora per vedere se sono linearmente indipendenti risolvo la matrice associata a al sistema formato dai vettori, se si annulla una riga allora non sono indipendenti e non possono formare $ R^4 $. Una volta ridotta la matrice a scalini, cerco un parametro k che soddisfi la condizione di indipendenza fra i vettori. Una volta fatto ciò, i vettori che ottengo dalla riduzione formano una base dello spazio. Poi prendo i valori di k che ho escluso, sostituisco ed esprimo ognuno dei vettori come combinazione lineare degli altri (questo punto seppur banale non sono sicuro di averlo capito al 100%).
2) Poi per il punto due devo risolvere questa matrice (secondo me eh, ma penso sia sbagliato): $ ( ( 2 , 1 , k , 3 , 1 ),( 0 , 1/2 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , k , 0 , 2 , 1 ),( 2 , 0 , 3 , 3 , 1 ) ) $ Dove l'ultima colonna è formata dai coefficienti del vettore (1,1,1,1). (non ho trovato come fare la barra continua nell'editar delle matrici).
3) sostituisco i valori di k che avevo trovato nel punto 1 che non mi rendevano i vettori indipendenti nella matrice originale (quella associata al sistema formato dai vettori) e la riduco a scalini. I vettori che ottengo dovrebbero fornirmi la base.
Io farei così, ma 1: non sono sicuro, 2: ho provato, ma non so se è giusto perché non ho risultati (che furbamente ho buttato via per sbaglio fra la marea di fogli che avevo).
1) Allora per vedere se sono linearmente indipendenti risolvo la matrice associata a al sistema formato dai vettori, se si annulla una riga allora non sono indipendenti e non possono formare $ R^4 $. Una volta ridotta la matrice a scalini, cerco un parametro k che soddisfi la condizione di indipendenza fra i vettori. Una volta fatto ciò, i vettori che ottengo dalla riduzione formano una base dello spazio. Poi prendo i valori di k che ho escluso, sostituisco ed esprimo ognuno dei vettori come combinazione lineare degli altri (questo punto seppur banale non sono sicuro di averlo capito al 100%).
2) Poi per il punto due devo risolvere questa matrice (secondo me eh, ma penso sia sbagliato): $ ( ( 2 , 1 , k , 3 , 1 ),( 0 , 1/2 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , k , 0 , 2 , 1 ),( 2 , 0 , 3 , 3 , 1 ) ) $ Dove l'ultima colonna è formata dai coefficienti del vettore (1,1,1,1). (non ho trovato come fare la barra continua nell'editar delle matrici).
3) sostituisco i valori di k che avevo trovato nel punto 1 che non mi rendevano i vettori indipendenti nella matrice originale (quella associata al sistema formato dai vettori) e la riduco a scalini. I vettori che ottengo dovrebbero fornirmi la base.
Io farei così, ma 1: non sono sicuro, 2: ho provato, ma non so se è giusto perché non ho risultati (che furbamente ho buttato via per sbaglio fra la marea di fogli che avevo).
Per l'esercizio (1) giustamente li consideri in “forma matriciale”. Linearmente indipendenti, come sai, equivale ad una condizione sul rango. Siccome ci sono però 4 vettori puoi usare il determinante perché rango massimo significa “invertibile”. Di fatto, se vuoi una spiegazione teorica tu stai studiando i vettori attraverso la applicazione lineare che manda la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R}^m \) (con \(\displaystyle m \) numero di vettori) nell'insieme ordinato dei vettori che stai considerando. Il fatto che i vettori siano linearmente indipendenti equivale all'iniettività. Siccome in questo caso \(\displaystyle m \) coincide con la dimensione dello spazio stai vedendo se l'applicazione è invertibile.
Quindi trovo che il metodo migliore sia calcolare il determinante e vedere per quali valori di \(\displaystyle k \) quest'ultimo si annulla. Riguardo al problema di trovare combinazioni lineari esplicite è spesso possibile vederle senza troppi calcoli. Altrimenti ti tocca risolvere il sistema lineare omogeneo associato.
Per fare un esempio della questione a occhio ho che
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k-3 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Quest'ultimo è uguale a \(\displaystyle 2v_2 \) per \(\displaystyle k=1 \). Quindi \(\displaystyle v_1 - 2v_2 - v_4 = 0 \) per \(\displaystyle k=1 \).
Per quanto riguarda il punto (2) devi semplicemente risolvere il sistema lineare associato tenendo conto che \(\displaystyle k \) sarà diverso da alcuni particolari valori. Il come lo fai è assolutamente identico. Tenendo conto che la matrice è invertibile per quei valori di \(\displaystyle k \) puoi usare praticamente ogni metodo, compreso Cramer. Per un elenco dei metodi ti rimando a questo.
Il punto (3) si tratta di ridurre a scalini anche se ci possono essere dei modi per velocizzare le cose. Per esempio in alcuni casi è facile determinare che un particolare sottoinsieme linearmente indipendente dei vettori che stai considerando genera gli altri. Ma usare la riduzione a gradini dovrebbe ridurre gli errori di distrazione.
Quindi trovo che il metodo migliore sia calcolare il determinante e vedere per quali valori di \(\displaystyle k \) quest'ultimo si annulla. Riguardo al problema di trovare combinazioni lineari esplicite è spesso possibile vederle senza troppi calcoli. Altrimenti ti tocca risolvere il sistema lineare omogeneo associato.
Per fare un esempio della questione a occhio ho che
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k-3 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Quest'ultimo è uguale a \(\displaystyle 2v_2 \) per \(\displaystyle k=1 \). Quindi \(\displaystyle v_1 - 2v_2 - v_4 = 0 \) per \(\displaystyle k=1 \).
Per quanto riguarda il punto (2) devi semplicemente risolvere il sistema lineare associato tenendo conto che \(\displaystyle k \) sarà diverso da alcuni particolari valori. Il come lo fai è assolutamente identico. Tenendo conto che la matrice è invertibile per quei valori di \(\displaystyle k \) puoi usare praticamente ogni metodo, compreso Cramer. Per un elenco dei metodi ti rimando a questo.
Il punto (3) si tratta di ridurre a scalini anche se ci possono essere dei modi per velocizzare le cose. Per esempio in alcuni casi è facile determinare che un particolare sottoinsieme linearmente indipendente dei vettori che stai considerando genera gli altri. Ma usare la riduzione a gradini dovrebbe ridurre gli errori di distrazione.
Non mi è molto chiara una cosa. Perché nel punto 1 calcoli il determinante? Ho seguito il tuo ragionamento fino a dove dici "Siccome in questo caso m coincide con la dimensione dello spazio stai vedendo se l'applicazione è invertibile.". Poi però non ho capito perché il determinante (sarà perché non ho capito molto bene il determinante). Io so che se det(Ax|b)=det(A) il sistema è compatibile e che se è diverso da 0 la matrice è invertibile. A questo punto (se ho capito bene) tu dici che se io sto vedendo quando sono linearmente indipendenti ( e la condizione di indipendenza lineare mi dice se la matrice è invertibile) tanto vale che mi calcoli il determinante. Poi trovo i valori di k per cui è diverso da 0 e quelli mi dicono quando la matrice è invertibile. Poi però devo trovare le combinazioni lineari esplicite (e dato che non sono molto pratico non le vedo subito). Per trovarle devo risolvere il sistema omogeneo associato e su questo sono d'accordo. Però poi mi chiede le basi che generano lo spazio e le trovo riducendo a scala il sistema formato dai vettori: $ ( ( 2 , 1 , k , 3 ),( 0 , 1/2 , -1 , 0 ),( 2 , k , 0 , 2 ),( 2 , 0 , 3 , 3 ) ) $ .
Risolto questo se nessuna riga si annulla è invertibile, ho le basi dello spazio richiesto e poso facilmente trovare i valori di k che mi soddisfano l'indipendenza. Quindi all'inizio avrei calcolato il determinante per nulla essendo che mi chiede anche le basi generatrici...?
P.s. so che è probabilmente il punto più stupido dell'esercizio, ma non saprei come scrivere una combinazione lineare dei vettori con coefficienti non tutti nulli... Devo solamente risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice sopra?
Risolto questo se nessuna riga si annulla è invertibile, ho le basi dello spazio richiesto e poso facilmente trovare i valori di k che mi soddisfano l'indipendenza. Quindi all'inizio avrei calcolato il determinante per nulla essendo che mi chiede anche le basi generatrici...?
P.s. so che è probabilmente il punto più stupido dell'esercizio, ma non saprei come scrivere una combinazione lineare dei vettori con coefficienti non tutti nulli... Devo solamente risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice sopra?
Probabilmente comprenderesti più facilmente la questione del determinante come forma multilineare alternante.
Detto questo il punto è che se \(\displaystyle n \) vettori su uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \) sono indipendenti allora formano una base. Quella che tu stai scrivendo è una matrice di cambio di base (o la sua trasposta). E le matrici di cambio di base sono invertibili. Sto parlando di applicazioni lineari e non di sistemi.
Comunque certamente se fossero 3 vettori in uno spazio di dimensione 3 i calcoli dei determinanti sarebbe più semplici. Tra l'altro il determinante ti serve per Cramer. Ma ammetto che il determinante di una matrice \(\displaystyle 4\times 4 \) è un po' più noioso.
Cominciamo con il raddoppiare la matrice per comodità (il determinante si moltiplica per \(\displaystyle 2^4 = 16 \).
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2k & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2k & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 6 & 6 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle 2U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2k & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2k-2 & -2k & -2 \\ 0 & -2 & 6-2k & 0 \end{pmatrix} \) mi segno anche \(\displaystyle L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle 2U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2k & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2k-4 & -2 \\ 0 & 0 & 2-2k & 0 \end{pmatrix} \) mi segno anche \(\displaystyle L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2k-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
A questo punto posso scambiare le ultime due colonne di \(\displaystyle 2U \) ricavando
\(\displaystyle 2U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 & 2k \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 2(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & 2(1-k) \end{pmatrix} \) ed inoltre \(\displaystyle L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2k-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\displaystyle Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) e \(\displaystyle A = LUQ \).
Quest'ultima parte è una decomposizione LU con pivoting sulle colonne. L'ho fatto per poter riutilizzare la scomposizione per più sistemi.
Si nota che il rango è massimo se \(\displaystyle k\neq 1 \). Il determinante di \(\displaystyle A \) è \(\displaystyle \frac{1}{16}\det(L)\det(2U)\det(Q) = \frac{1}{16}\cdot 1\cdot \bigl[-16(1-k) \bigr]\cdot (-1) = 1-k \). Questo solo per far vedere che i due metodi erano equivalenti.
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Mi sono però accorto che ho fatto i calcoli con la trasposta di quella di cui avevo bisogno per trovare i coefficienti lineari.
Beh, a questo punto però tanto mi basta fare \(\displaystyle {}^tA = {}^t(LUQ) = {}^tQ{}^tU{}^tL \). In definitiva devi risolvere \(\displaystyle {}^tQ{}^tU{}^tL\mathbf{c} = \mathbf{0} \).
Detto questo il punto è che se \(\displaystyle n \) vettori su uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \) sono indipendenti allora formano una base. Quella che tu stai scrivendo è una matrice di cambio di base (o la sua trasposta). E le matrici di cambio di base sono invertibili. Sto parlando di applicazioni lineari e non di sistemi.
Comunque certamente se fossero 3 vettori in uno spazio di dimensione 3 i calcoli dei determinanti sarebbe più semplici. Tra l'altro il determinante ti serve per Cramer. Ma ammetto che il determinante di una matrice \(\displaystyle 4\times 4 \) è un po' più noioso.
Cominciamo con il raddoppiare la matrice per comodità (il determinante si moltiplica per \(\displaystyle 2^4 = 16 \).
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2k & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2k & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 6 & 6 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle 2U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2k & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2k-2 & -2k & -2 \\ 0 & -2 & 6-2k & 0 \end{pmatrix} \) mi segno anche \(\displaystyle L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle 2U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2k & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2k-4 & -2 \\ 0 & 0 & 2-2k & 0 \end{pmatrix} \) mi segno anche \(\displaystyle L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2k-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
A questo punto posso scambiare le ultime due colonne di \(\displaystyle 2U \) ricavando
\(\displaystyle 2U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 & 2k \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 2(k-2) \\ 0 & 0 & 0 & 2(1-k) \end{pmatrix} \) ed inoltre \(\displaystyle L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2k-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\displaystyle Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) e \(\displaystyle A = LUQ \).
Quest'ultima parte è una decomposizione LU con pivoting sulle colonne. L'ho fatto per poter riutilizzare la scomposizione per più sistemi.
Si nota che il rango è massimo se \(\displaystyle k\neq 1 \). Il determinante di \(\displaystyle A \) è \(\displaystyle \frac{1}{16}\det(L)\det(2U)\det(Q) = \frac{1}{16}\cdot 1\cdot \bigl[-16(1-k) \bigr]\cdot (-1) = 1-k \). Questo solo per far vedere che i due metodi erano equivalenti.
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Mi sono però accorto che ho fatto i calcoli con la trasposta di quella di cui avevo bisogno per trovare i coefficienti lineari.
Beh, a questo punto però tanto mi basta fare \(\displaystyle {}^tA = {}^t(LUQ) = {}^tQ{}^tU{}^tL \). In definitiva devi risolvere \(\displaystyle {}^tQ{}^tU{}^tL\mathbf{c} = \mathbf{0} \).
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