Algebra Lineare e Geometria
'Salve
Purtroppo mi sono portato dietro dal primo anno un esame di Algebra Lineare e Geometria
Il professore, piuttosto metodico nella scrittura dei temi d'esame, quest'anno (per mia grande felicità) ha fatto un eccezione.
Gli anni scorsi la parte di Geometria era piuttosto ridotta, se non quasi assente, cosa che guardando i temi d'esame dell'anno in corso non è più così.
Solitamente, non è mia abitudine chiedere la pappa pronta, ma gli appunti di Geometria che ho sono veramente miseri (conseguenza del diverso peso che aveva negli anni precedenti) e quindi guardando i quesiti odierni mi trovo spiazzato.
Il primo esercizio non saprei proprio da dove incominciare, anche perché non rispondendo correttamente alla prima domanda difficilmente riesci a procedere
Sul secondo, invece, intuitivamente ho provato ad abbozzare qualcosa:
4.2: Banalmente impongo P nell'equazione della retta, quindi: $\alpha^2-1 - \alpha^2 - \alpha +2 + \alpha^2 - \alpha = 2$ $->$ $\alpha^2 - 2\alpha -1 = 0$
Calcolo le radici e trovo che i punti non appartengono al piano per $\alpha != 1\pmsqrt(2)$
L'equazione della retta in forma parametrica e':
$r_\alpha: {(x: +1 + (\alpha^2 -1)t,),(y: -1 + (\alpha^2 + \alpha - 2)t,),(z: +alpha + (alpha - 1)t,):}$
Il passaggio dalla parametrica alla cartesiana però mi manca.
4.3 Di istinto prenderei il vettore direttore della retta $r_alpha=[alpha^2-1,alpha^2 + \alpha - 2,alpha - 1]$ e di conseguenza $r_(alpha')=[alpha'^2-1,alpha'^2 + \alpha' - 2,alpha' - 1]$ e impongo la seguente condizione: $ = 0 $
Dopo aver visto l'immane calcolo che mi viene fuori, lascio stare l'istinto e comincio a farmi una domanda, ma se la retta $r_(alpha')$ deve essere ortogonale al piano, come fa ad esistere nello spazio una retta $r_(alpha)$ sempre ortogonale al piano in questione e ortogonale alla retta $r_(alpha')$ ??
L'abbozzo di questi due punti l'ho fatto più che altro per rendervi conto dello stato pietoso in cui mi trovo, cercando di far leva dunque sulla vostra compassione
Saluti e grazie per le risposte
Purtroppo mi sono portato dietro dal primo anno un esame di Algebra Lineare e Geometria
Il professore, piuttosto metodico nella scrittura dei temi d'esame, quest'anno (per mia grande felicità) ha fatto un eccezione.
Gli anni scorsi la parte di Geometria era piuttosto ridotta, se non quasi assente, cosa che guardando i temi d'esame dell'anno in corso non è più così.
Solitamente, non è mia abitudine chiedere la pappa pronta, ma gli appunti di Geometria che ho sono veramente miseri (conseguenza del diverso peso che aveva negli anni precedenti) e quindi guardando i quesiti odierni mi trovo spiazzato.
Il primo esercizio non saprei proprio da dove incominciare, anche perché non rispondendo correttamente alla prima domanda difficilmente riesci a procedere
Sul secondo, invece, intuitivamente ho provato ad abbozzare qualcosa:
4.2: Banalmente impongo P nell'equazione della retta, quindi: $\alpha^2-1 - \alpha^2 - \alpha +2 + \alpha^2 - \alpha = 2$ $->$ $\alpha^2 - 2\alpha -1 = 0$
Calcolo le radici e trovo che i punti non appartengono al piano per $\alpha != 1\pmsqrt(2)$
L'equazione della retta in forma parametrica e':
$r_\alpha: {(x: +1 + (\alpha^2 -1)t,),(y: -1 + (\alpha^2 + \alpha - 2)t,),(z: +alpha + (alpha - 1)t,):}$
Il passaggio dalla parametrica alla cartesiana però mi manca.
4.3 Di istinto prenderei il vettore direttore della retta $r_alpha=[alpha^2-1,alpha^2 + \alpha - 2,alpha - 1]$ e di conseguenza $r_(alpha')=[alpha'^2-1,alpha'^2 + \alpha' - 2,alpha' - 1]$ e impongo la seguente condizione: $
Dopo aver visto l'immane calcolo che mi viene fuori, lascio stare l'istinto e comincio a farmi una domanda, ma se la retta $r_(alpha')$ deve essere ortogonale al piano, come fa ad esistere nello spazio una retta $r_(alpha)$ sempre ortogonale al piano in questione e ortogonale alla retta $r_(alpha')$ ??
L'abbozzo di questi due punti l'ho fatto più che altro per rendervi conto dello stato pietoso in cui mi trovo, cercando di far leva dunque sulla vostra compassione
Saluti e grazie per le risposte
Risposte
L'intersezione di due piani nello spazio affine in 3 dimensioni è una retta o il vuoto (che è uno spazio affine !). Penso che questo fatto sia dato per scontato, quindi imponi che i piani non siano paralleli... il discorso dello spazio vettoriale non è ben chiaro, forse intende chiedere quand'è che l'intersezione contiene lo 0. Ora che hai fatto il primo punto prova con gli altri
"pic":
L'intersezione di due piani nello spazio affine in 3 dimensioni è una retta o il vuoto (che è uno spazio affine !). Penso che questo fatto sia dato per scontato, quindi imponi che i piani non siano paralleli... il discorso dello spazio vettoriale non è ben chiaro, forse intende chiedere quand'è che l'intersezione contiene lo 0. Ora che hai fatto il primo punto prova con gli altri
Quindi, verifico quando il vettore direttore del piano 1: $\bb(v1)=[2,4,-alpha^2]$ e del piano 2: $\bb(v2)=[1,2,-1]$ non siano esprimibili come combinazione lineare, cioè $\bb(v2)=beta\bb(v1)$, trovando i valori di $alpha != \pm sqrt(2)$
Per quanto riguarda lo spazio vettoriale, suppongo anch'io che chieda l'esistenza dell'elemento neutro (e quindi del vettore nullo)... da profano cercherei per l'appunto i valori tali per cui ho una retta di intersezione pari a $r_alpha= { \bb0 }$, quindi pongo a sistema i due piani, pongo le varie componenti x,y,z uguali a zero e ricavo l'equazione $4-\alpha^2 = -alpha^2+3alpha +10 -> alpha=-2
2.2 Possiamo mettere a sistema i due piani, esplicitando il vettore delle incognite con il punto $P_alpha$, dimostrando che per ogni valore dl $alpha$ diverso da $\pmsqrt(2)$ il sistema non è soddisfatto.. ma a quanto pare questa soluzione non va bene (i risultati non corrispondono).
Il terzo punto, non saprei...
Grazie per l'aiuto
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