Algebra Lineare domande
Salve,
sto ripassando i principi di Algebra lineare, e mi sono venuti alcuni dubbi.
ho utilizzato in parte come sunto gli appunti scritti da Sergo in "Algebra Lineare for Dummies" e da qua ho una domanda sugli autovalori e compagnia:
Se ho un autovalore $lambda=0$ e un autospazio di dimensione 1.
Il suo autovettore può essere qualunque cosa, ma avendo autovalore $0$ sarà comunque uguale al vettore nullo.
visto che un autospazione è un sottospazio, e da definizione un sottospazio possiede vettore nullo, un autospazio con autovalore $0$ si può dire cha ha due vettori nulli o sono due mondi diversi?
L'autospazio formalmente è un sottospazio del dominio o del codominio?
Spero di non aver detto troppe cavolate, sono arrugginito su queste cose e le sto apposta rivedendo.
Ringrazio
sto ripassando i principi di Algebra lineare, e mi sono venuti alcuni dubbi.
ho utilizzato in parte come sunto gli appunti scritti da Sergo in "Algebra Lineare for Dummies" e da qua ho una domanda sugli autovalori e compagnia:
Se ho un autovalore $lambda=0$ e un autospazio di dimensione 1.
Il suo autovettore può essere qualunque cosa, ma avendo autovalore $0$ sarà comunque uguale al vettore nullo.
visto che un autospazione è un sottospazio, e da definizione un sottospazio possiede vettore nullo, un autospazio con autovalore $0$ si può dire cha ha due vettori nulli o sono due mondi diversi?
L'autospazio formalmente è un sottospazio del dominio o del codominio?
Spero di non aver detto troppe cavolate, sono arrugginito su queste cose e le sto apposta rivedendo.
Ringrazio
Risposte
"ham_burst":
Se ho un autovalore $lambda=0$ e un autospazio di dimensione 1.
Il suo autovettore può essere qualunque cosa, ma avendo autovalore $0$ sarà comunque uguale al vettore nullo.
No, sbagli. Se la matrice $A$ ha l'autovalore $\lambda=0$, allora l'autospazio coincide con il nucleo della matrice $A$, cioè con [tex]\ker{A}[/tex] (sapresti dire il perché?). E se dici che la matrice $A$ ha l'autovalore 0 allora stai dicendo che l'equazione $Ax=0$ ha soluzioni non banali, diverse dal vettore nullo. Insomma, stai dicendo che ci sono dei vettori non nulli la cui immagine mediante $f$ (l'endomorfismo associato alla matrice) è il vettore nullo.
Ricorda, inoltre, che per definizione si esclude che un autovettore possa essere il vettore nullo.
"ham_burst":
visto che un autospazione è un sottospazio, e da definizione un sottospazio possiede vettore nullo, un autospazio con autovalore $0$ si può dire che ha due vettori nulli o sono due mondi diversi? L'autospazio formalmente è un sottospazio del dominio o del codominio?
Non capisco che cosa intendi. L'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$ è l'insieme di tutti i $\lambda$-autovettori, a cui unisci il vettore nullo. Non capisco perchè dovrebbero esserci più vettori nulli: l'elemento neutro per la somma in un gruppo abeliano è unico.
Ancora, tieni presente che tutta 'sta storia (autovalori, autovettori etc) la fai solo ed esclusivamente per matrici quadrate, i.e. per endomorfismi, quindi mappe lineari da $V \to V$. Questo significa che è un po' difficile distinguere tra dominio e codominio!
Comunque, se ti devo dire la verità (per me), un autospazio è un sottospazio del dominio, perchè è costituito da tutti i vettori che sono paralleli alla propria immagine mediante $f$. Però, ripeto, cambia poco; è per comodità, ecco. Anche perchè - ad esempio nel caso di cui sopra, se hai l'autovalore $0$ - l'autospazio coincide con il nucleo, che è un sottospazio del dominio.
"ham_burst":
Ringrazio
Prego, figurati, è un piacere. Spero sia chiaro.
data un'applicazione lineare $f: V \to W$ sia ha sempre che $Kerf sube V$
lo stesso vale per gli endomorfismi che non sono altro che applicazioni lineari del tipo $f: V \to V$
come gia ha detto Paolo90, detto $E_0$ l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$ , siaha che $E_0-=Kerf$
gli altri autospazi $E_i$ associati agli autovalori $\lambda=i$ ($AAi in Specf$) non sono altro che il nucleo dell'applicazione $f_\lambda=f-\lambdai$ di matrice $M-\lambdaI_n$
lo stesso vale per gli endomorfismi che non sono altro che applicazioni lineari del tipo $f: V \to V$
come gia ha detto Paolo90, detto $E_0$ l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$ , siaha che $E_0-=Kerf$
gli altri autospazi $E_i$ associati agli autovalori $\lambda=i$ ($AAi in Specf$) non sono altro che il nucleo dell'applicazione $f_\lambda=f-\lambdai$ di matrice $M-\lambdaI_n$
Vi ringrazio.
Sì essendo un endomorfismo mi veniva il dubbio che l'autospazio fosse un sottospazio particolare e definibile solo nel dominio o solo nel codominio, ma è una piccolezza. Ma ora mi avete chiarito il dubbio.
per l'altra questione con l'autovalore $0$:
come fanno ad esserci soluzioni diverse dal vettore nullo? Qua mi mandi un attimo in confuzione, con $Ax=0$ intendi $Ax=0x$ con 0 autovalore?
Poi mi è venuto in mente un altro dubbio leggendo la vostra spiegazione, forse è una banalità ma mi serve un chiarimento.
Il calcolo del Nucleo praticamente viene utilizzato ad esempio per vedere se un'applicazione è iniettiva.
Ma adesso mi potreste dire qual è il significato del nucleo nella teoria degli spazi vettoriali.
Se ho ad esempio un omomorfismo $f:V->W$ e ho il sottospazio $Ker(T)={v_k}$ cioè ho $\text{nullità}=1$.
Questo vettore $v_k$ viene mandato nel vettore nullo di $W$, che significato ha?
Se volete metterla in altri termini, sono in $VsubRR^2$ e $WsubRR^2$, $v_k$ geometricamente che significato ha?
spero che le ultieriori domande siano chiare, mi sa che me le porto dietro da anni
Ringrazio
Sì essendo un endomorfismo mi veniva il dubbio che l'autospazio fosse un sottospazio particolare e definibile solo nel dominio o solo nel codominio, ma è una piccolezza. Ma ora mi avete chiarito il dubbio.
per l'altra questione con l'autovalore $0$:
"Paolo90":
E se dici che la matrice A ha l'autovalore 0 allora stai dicendo che l'equazione Ax=0 ha soluzioni non banali, diverse dal vettore nullo
come fanno ad esserci soluzioni diverse dal vettore nullo? Qua mi mandi un attimo in confuzione, con $Ax=0$ intendi $Ax=0x$ con 0 autovalore?
Poi mi è venuto in mente un altro dubbio leggendo la vostra spiegazione, forse è una banalità ma mi serve un chiarimento.
Il calcolo del Nucleo praticamente viene utilizzato ad esempio per vedere se un'applicazione è iniettiva.
Ma adesso mi potreste dire qual è il significato del nucleo nella teoria degli spazi vettoriali.
Se ho ad esempio un omomorfismo $f:V->W$ e ho il sottospazio $Ker(T)={v_k}$ cioè ho $\text{nullità}=1$.
Questo vettore $v_k$ viene mandato nel vettore nullo di $W$, che significato ha?
Se volete metterla in altri termini, sono in $VsubRR^2$ e $WsubRR^2$, $v_k$ geometricamente che significato ha?
spero che le ultieriori domande siano chiare, mi sa che me le porto dietro da anni
Ringrazio
"ham_burst":
Vi ringrazio.
Sì essendo un endomorfismo mi veniva il dubbio che l'autospazio fosse un sottospazio particolare e definibile solo nel dominio o solo nel codominio, ma è una piccolezza. Ma ora mi avete chiarito il dubbio.
per l'altra questione con l'autovalore $0$:
[quote="Paolo90"]E se dici che la matrice A ha l'autovalore 0 allora stai dicendo che l'equazione Ax=0 ha soluzioni non banali, diverse dal vettore nullo
come fanno ad esserci soluzioni diverse dal vettore nullo? Qua mi mandi un attimo in confuzione, con $Ax=0$ intendi $Ax=0x$ con 0 autovalore?[/quote]
Beh ma $Ax=0x=0$. Tutti gli autovettori $x$ dell'autovalore $0$ saranno soluzione dell'eq. $Ax = 0$
Se ho ad esempio un omomorfismo $f:V->W$ e ho un $Ker(T)=v_k$ cioè ho $\text{nullità}=1$.
Questo vettore $v_k$ viene mandato nel vettore nullo di $W$, che significato ha?
Non so se è quello che chiedi, ma $v_k$ sarà soluzione dell'eq. $Ax=0$. Però occhio che $Ker(T)$ non è formato solo da $v_k$, ma da tutti i vettori $x = c v_k$. In pratica le soluzioni dell'eq. $Ax=0$ sono gli $x$ che giacciono sulla retta passante dall'origine sulla quale giace $v_k$.
"ham_burst":
con $Ax=0$ intendi $Ax=0x$ con 0 autovalore?
no con $0$ indichi un vettore nullo, è un prodotto matriciale...
"ham_burst":
come fanno ad esserci soluzioni diverse dal vettore nullo? Qua mi mandi un attimo in confuzione
è un sitema lineare omogeneo, ricorda il teorema di rouche-capelli...la matrice completa non puo avere rango $>$ di quella incompleta, quindi se $det(A)!=0$ allora $EE!x$ (che è la soluzione banale, è un sistema omogeneo: la soluzione banale c'è sempre)
invece se $det(A)=0$ , detto $r$ il rango di $A$ e detto $n$ l'ordine di $A$ allora avrai $oo^(n-r)$ soluzioni e cioe un sottospazio vettoriale di dimensione $n-r$
in pratica ti basta prendere una matrice $A$ singolare e otterrai un $Ker$ non banale.
per quanto riguarda l'iniettivita: in generale un'applicazione lineare $f:V \to W$ è iniettiva sse $Kerf={0}$
nel caso particolare di endomorfismi se $f$ è iniettiva allora è anche suriettiva
"Deckard":Se ho ad esempio un omomorfismo $f:V->W$ e ho un $Ker(T)=v_k$ cioè ho $\text{nullità}=1$.
Questo vettore $v_k$ viene mandato nel vettore nullo di $W$, che significato ha?
Non so se è quello che chiedi, ma $v_k$ sarà soluzione dell'eq. $Ax=0$. Però occhio che $Ker(T)$ non è formato solo da $v_k$, ma da tutti i vettori $x = c v_k$. In pratica le soluzioni dell'eq. $Ax=0$ sono gli $x$ che giacciono sulla retta passante dall'origine sulla quale giace $v_k$.
ah ecco.
fantastico, un punto che ho chiarito. $Ket(T)$ essendo un sottospazio (in questo caso) $v_k$ è una sua base. giusto?
$Ax=0$ sono gli $x$ che giacciono sulla retta passante dall'origine sulla quale giace $v_k$.
ok ho una visione geometrica della cosa, ti ringrazio.
e ho avuto un'illuminazione (spero corretta).
Essendo dal teorema di nullità+rango, se dim(Ket(T))>0 non potrò diversificare le immagini perchè tutti saranno "convergenti" (passatemi il termine) all'univo vettore nullo di W.
geometricamente parlando (passando alla matrice associata e avendo tipo $null(A)= dim(V)$), avrò tutti i vettori di coordinate collassati nell'origine. corretto finora?
EDIT: ho scritto la risposta mentre byob12 rispondeva. E mi ha chiarito un altro punto, comunque alla luce di ciò quanto ho scritto è corretto?
"ham_burst":
[quote="Deckard"]Se ho ad esempio un omomorfismo $f:V->W$ e ho un $Ker(T)=v_k$ cioè ho $\text{nullità}=1$.
Questo vettore $v_k$ viene mandato nel vettore nullo di $W$, che significato ha?
Non so se è quello che chiedi, ma $v_k$ sarà soluzione dell'eq. $Ax=0$. Però occhio che $Ker(T)$ non è formato solo da $v_k$, ma da tutti i vettori $x = c v_k$. In pratica le soluzioni dell'eq. $Ax=0$ sono gli $x$ che giacciono sulla retta passante dall'origine sulla quale giace $v_k$.
ah ecco.
fantastico, un punto che ho chiarito. $Ket(T)$ essendo un sottospazio (in questo caso) $v_k$ è una sua base. giusto?[/quote]
Se come hai assunto $Ker(T)$ ha dimensione $1$ allora sì, ${v_k}$ è una sua base. Comunque $Ker(T)$ è sempre un sottospazio. Pensaci un attimo: $Ker(T)={x | Ax = 0}$, ma se $Ax=0$ anche $cAx=0$ con $c in RR$ e se $x,y in Ker(T)$ allora $A(x+y) = Ax + Ay = 0$ e quindi $x+y in Ker(T)$.
Essendo dal teorema di nullità+rango, se dim(Ket(T))>0 non potrò diversificare le immagini perchè tutti saranno "convergenti" (passatemi il termine) all'univo vettore nullo di W.
geometricamente parlando (passando alla matrice associata e avendo tipo $null(A)= dim(V)$), avrò tutti i vettori di coordinate collassati nell'origine. corretto finora?
Ehm, non ho proprio capito che intendi.
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