[Algebra Lineare] - Dimensione sottospazi vettoriali
Prendo uno degli esercizi di una vecchia esercitazione:
Trovare le dimensioni e le basi di $U$, $W$, $U + W$, $U nn W$ dove:
$U = <((0, 1, 1, 0)) , ((1, 0, 2, 1)) , ((1, 0, 1, 1))>$
$W = <((1, 1, 1, 1)) , ((2, 1, 1, 0)) , ((0, 1, 1, 2))>$
Si nota subito che sia i vettori di $U$ sia quelli di $W$ sono linearmente indipendenti, per cui $dim(U) = 3 = dim(W)$, e una base è perciò uguale proprio ai vettori della definizione dei sottospazi.
I dubbi iniziano ora, per trovare dimensione e sopratutto base degli altri due sottospazi.
Per trovare la dimensione di $U + W$ potrei considerare la matrice $ ( (0, 1, 1, 0) , (1, 0, 2, 1) , (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1) , (2, 1, 1, 0) , (0, 1, 1, 2)) $ e determinarne il rango? In caso positivo, poi la dimensione di $U nn W$ seguirebbe da Grassman...
Quello per cui proprio non mi trovo sono le basi dei due nuovi sottospazi (specie dell'ultimo, il primo nel caso effettivamente avesse dimensione 4 andrebbe bene anche la base canonica, ma preferirei un metodo generale per trovarla)...
Trovare le dimensioni e le basi di $U$, $W$, $U + W$, $U nn W$ dove:
$U = <((0, 1, 1, 0)) , ((1, 0, 2, 1)) , ((1, 0, 1, 1))>$
$W = <((1, 1, 1, 1)) , ((2, 1, 1, 0)) , ((0, 1, 1, 2))>$
Si nota subito che sia i vettori di $U$ sia quelli di $W$ sono linearmente indipendenti, per cui $dim(U) = 3 = dim(W)$, e una base è perciò uguale proprio ai vettori della definizione dei sottospazi.
I dubbi iniziano ora, per trovare dimensione e sopratutto base degli altri due sottospazi.
Per trovare la dimensione di $U + W$ potrei considerare la matrice $ ( (0, 1, 1, 0) , (1, 0, 2, 1) , (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1) , (2, 1, 1, 0) , (0, 1, 1, 2)) $ e determinarne il rango? In caso positivo, poi la dimensione di $U nn W$ seguirebbe da Grassman...
Quello per cui proprio non mi trovo sono le basi dei due nuovi sottospazi (specie dell'ultimo, il primo nel caso effettivamente avesse dimensione 4 andrebbe bene anche la base canonica, ma preferirei un metodo generale per trovarla)...
Risposte
Non per essere cattivo, ma i generatori di $U$ sono linearmente indipendenti, mentre per quelli di $W$ si ha
$(2,1,1,0)+(0,1,1,2)=(2,2,2,2)=2\cdot (1,1,1,1)$
per cui non mi sembrano tanto linearmente indipendenti!
$(2,1,1,0)+(0,1,1,2)=(2,2,2,2)=2\cdot (1,1,1,1)$
per cui non mi sembrano tanto linearmente indipendenti!
Si scusa errore mio, andavo di fretta per fare il secondo punto con $U + W$ e $U nn W$ e ho sbagliato il primo.
Premesso ora che la base di $W$ diventa $<((1, 1, 1, 1)), ((2, 1, 1, 0))>$, il procedimento per trovare $dim(U + W)$ e $dim(U nn W)$ è corretto, e in caso positivo un metodo abbastanza "standard" per trovare le basi quale può essere?
Premesso ora che la base di $W$ diventa $<((1, 1, 1, 1)), ((2, 1, 1, 0))>$, il procedimento per trovare $dim(U + W)$ e $dim(U nn W)$ è corretto, e in caso positivo un metodo abbastanza "standard" per trovare le basi quale può essere?
Bè, il metodo che hai usato è fondamentalmente quello standard!
Ok grazie, suppongia sia riferito alle dimensioni di somma e unione.
Quello di cui però non ho idea quale sia è il "metodo standard" per trovare le basi dei due insiemi...
Quello di cui però non ho idea quale sia è il "metodo standard" per trovare le basi dei due insiemi...
Se per "metodo standard" intendi metodo generale applicabile a qualsiasi situazione, allora:
1) Un insieme di generatori di $U+W$ è dato banalmente dall'unione dei 2 insiemi di generatori; mettendo tutti in pila in una matrice e calcolando il rango trovi la dimensione del sottospazio, da cui puoi estrarre un insieme minimale tra questi generatori.
2) Per definire $U nn W$ puoi passare "dualmente" alle equazioni cartesiane, impilare equazioni del primo e del secondo sottospazio e risolvere il sistema lineare per trovare i generatori di $U nn W$
1) Un insieme di generatori di $U+W$ è dato banalmente dall'unione dei 2 insiemi di generatori; mettendo tutti in pila in una matrice e calcolando il rango trovi la dimensione del sottospazio, da cui puoi estrarre un insieme minimale tra questi generatori.
2) Per definire $U nn W$ puoi passare "dualmente" alle equazioni cartesiane, impilare equazioni del primo e del secondo sottospazio e risolvere il sistema lineare per trovare i generatori di $U nn W$
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