Algebra Lineare - Diagonalizzare una matrice
Salve a tutti, sono un Chimico che sta effettuando una Laurea Magistrale e che - purtroppo - ha dei vuoti di memoria per ciò che riguarda l'algebra lineare.
Senza scendere nei particolari della matrice che sto trattando, mi trovo dinanzi una 2x2 sì composta:
\begin{vmatrix} 1 & ps \\ 1 & s \end{vmatrix}
da diagonalizzare.
Qualcuno armato di tanta pazienza, mi potrebbe ricordare quali sono i passaggi da seguire?
Ho già determinato gli autovalori, attraverso l'equazione secolare:
{(1+s)+[(1-s)^2 + 4ps]^1/2}/2
{(1+s)-[(1-s)^2 + 4ps]^1/2}/2
Ma ho delle difficoltà con il calcolo degli autovettori e della matrice di trasformazione T per la diagonalizzazione. Qualcuno armato di tanta pazienza può ricordarmi operativamente com'è che si fa?
Grazie mille e scusate per il disturbo!
Senza scendere nei particolari della matrice che sto trattando, mi trovo dinanzi una 2x2 sì composta:
\begin{vmatrix} 1 & ps \\ 1 & s \end{vmatrix}
da diagonalizzare.
Qualcuno armato di tanta pazienza, mi potrebbe ricordare quali sono i passaggi da seguire?
Ho già determinato gli autovalori, attraverso l'equazione secolare:
{(1+s)+[(1-s)^2 + 4ps]^1/2}/2
{(1+s)-[(1-s)^2 + 4ps]^1/2}/2
Ma ho delle difficoltà con il calcolo degli autovettori e della matrice di trasformazione T per la diagonalizzazione. Qualcuno armato di tanta pazienza può ricordarmi operativamente com'è che si fa?
Grazie mille e scusate per il disturbo!
Risposte
Chiamiamo $ M $ la matrice da diagonalizzare; gli autovalori di $ M $ sono:
$ \lambda_{1,2} = \frac{1+s \pm \sqrt{(1+s)^2-4s(1-p)}}{2} $.
$ p $ ed $ s $ sono numeri reali o complessi?
$ \lambda_{1,2} = \frac{1+s \pm \sqrt{(1+s)^2-4s(1-p)}}{2} $.
$ p $ ed $ s $ sono numeri reali o complessi?
Numeri reali! Gli autovalori che ho ricavato io sono un po' diversi... Li ho scritti nel mio primo post, un po' bruttini perché sono un bel po' incapace xD
Ad ogni modo, al di là del valore numerico, è proprio il procedimento per ottenere gli autovettori e la matrice T di trasformazione (con tanto di T^-1) per la diagonalizzazione!
Ad ogni modo, al di là del valore numerico, è proprio il procedimento per ottenere gli autovettori e la matrice T di trasformazione (con tanto di T^-1) per la diagonalizzazione!
devi risolvere il sistema e distinguere i casi..
La mia difficoltà sorge proprio nel risolvere il sistema omogeneo per il calcolo degli autovettori, perché, sicuramente errando, arrivo all'unica soluzione in cui x=0 e y=0.
Hai la matrice
$A= ((1,ps),(1,s))$
Hai calcolato il determinante di $\bbA-\lambda\ \bbI$
e hai trovato
$\lambda_(1,2) = (s+1\pm \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2)$
Ora gli autovettori, ad esempio di $\lambda_(1) = (s+1+ \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2)$
Bisogna trovare il ker di $\bbA-\lambda_1\ \bbI$
cioè di questa simpatica matrice
$(((-s+1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2), ps),(1,(s-1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2)))$
Dall'ultima riga si ricava immediatamente l'autovettore prendendo "l'anti-reciproco della riga":
$((s-1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2),-1)$
Come verifica puoi eseguire il prodotto scalare della riga 1 con l'autovettore, e deve annullarsi.
$((s-1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2),-1) \cdot ((-s+1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2), ps)=0$
Il secondo autovettore si ricava in modo analogo.
$A= ((1,ps),(1,s))$
Hai calcolato il determinante di $\bbA-\lambda\ \bbI$
e hai trovato
$\lambda_(1,2) = (s+1\pm \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2)$
Ora gli autovettori, ad esempio di $\lambda_(1) = (s+1+ \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2)$
Bisogna trovare il ker di $\bbA-\lambda_1\ \bbI$
cioè di questa simpatica matrice
$(((-s+1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2), ps),(1,(s-1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2)))$
Dall'ultima riga si ricava immediatamente l'autovettore prendendo "l'anti-reciproco della riga":
$((s-1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2),-1)$
Come verifica puoi eseguire il prodotto scalare della riga 1 con l'autovettore, e deve annullarsi.
$((s-1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2),-1) \cdot ((-s+1- \sqrt((s+1)^2+4(ps+s)))/(2), ps)=0$
Il secondo autovettore si ricava in modo analogo.
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