Algebra lineare... Chi era costui?
Ciao a tutti. Ho appena iniziato a studiare un corso di algebra lineare su delle dispense preparate da un assistente. Il problema e' che sono molto sintetiche e non vi e' nemmeno uno straccio di introduzione, il che e' un peccato perche' uno parte non avendo nemmeno una vaga idea di cosa si occupera'.
Le mie domande non potrebbero essere piu' basic di cosi' ma siccome nemmeno google per ora mi ha dato grandi soddisfazioni approfitto di questo forum per chiedervi: che cos'e' l'algebra lineare? di cosa tratta? perche' si chiama cosi'? quali sono (in breve) le sue applicazioni pratiche?
Grazie e ciao
Le mie domande non potrebbero essere piu' basic di cosi' ma siccome nemmeno google per ora mi ha dato grandi soddisfazioni approfitto di questo forum per chiedervi: che cos'e' l'algebra lineare? di cosa tratta? perche' si chiama cosi'? quali sono (in breve) le sue applicazioni pratiche?
Grazie e ciao
Risposte
L'Algebra lineare e' lo studio degli spazi lineari (ovvero spazi vettoriali, spazi "dritti") e delle applicazioni lineari definite tra di essi. E' una Teoria molto importante vista ad esempio la sua rilevanza come fondamento della Geometria euclidea: il concetto di spazio vettoriale vuole formalizzare l'idea intuitiva dello spazio dei vettori geometrici. Questa applicazione potrebbe anche essere sufficiente a motivare uno studio approfondito dell'Algebra lineare.
Ma essa opera decisamente a molto piu' ampio spettro; quando gli spazi vettoriali diventano di dimensione infinita, l'Algebra lineare si trasforma in Analisi Funzionale lineare.
Infine, vale la pena ricordare che, per cosi' dire, in Algebra lineare uno fa i conti con le cose "dritte" (rette, piani, ecc...). In Analisi Matematica invece uno ha a che fare con cose che dritte non sono, per cui difficilmente riesce a farci dei conti. La filosofia del Calcolo differenziale sta proprio qui: "raddrizzare" le cose "storte" dell'Analisi Matematica pezzo per pezzo (come si dice localmente) in modo da riuscire a rimpiazzare questi oggetti storti con oggetti dritti, su cui far operare l'Algebra lineare, che opera in modo di gran lunga piu' facile.
Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk
Ma essa opera decisamente a molto piu' ampio spettro; quando gli spazi vettoriali diventano di dimensione infinita, l'Algebra lineare si trasforma in Analisi Funzionale lineare.
Infine, vale la pena ricordare che, per cosi' dire, in Algebra lineare uno fa i conti con le cose "dritte" (rette, piani, ecc...). In Analisi Matematica invece uno ha a che fare con cose che dritte non sono, per cui difficilmente riesce a farci dei conti. La filosofia del Calcolo differenziale sta proprio qui: "raddrizzare" le cose "storte" dell'Analisi Matematica pezzo per pezzo (come si dice localmente) in modo da riuscire a rimpiazzare questi oggetti storti con oggetti dritti, su cui far operare l'Algebra lineare, che opera in modo di gran lunga piu' facile.
Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk
Bellissima spiegazione Luca,mi è proprio piaciuta..!!
Marvin
Marvin
Grazie mille per la risposta. La verita' e' che l'esame che sto preparando e' geometria, pero' il programma parte con dei richiami all'algebra lineare e al calcolo vettoriale che purtroppo al momento per me sono "as clear as mud".
Si parte dal concetto di segmento orientato (ok), di equipollenza (ok), di vettore libero - definito come classe di segmenti orientati equipollenti (err... ok), di somma dei vettori del piano (ok).
Da li' si passa proprio al concetto di "spazio vettoriale" (definito in base alle sue proprieta') e non capisco piu' nulla.
Parte dicendo: "fissiamo un campo numerico K (ex K=R, ok) e sia V un insieme di elementi v1, v2,... . V e' uno spazio vettoriale su K se in V sono date le operazioni di somma (...) e prodotto per scalare (...) che soddisfano i seguenti assiomi (...). Gli elementi di K vengono detti scalari, gli elementi di V vengono detti vettori."
Sono confuso. Innanzitutto posso immaginarmi uno spazio vettoriale o e' solo un concetto astratto? E i vettori definiti come v1, v2, sono immaginabili graficamente come quelle "freccette" (tanto per capirci) da cui si e' partiti o e' stiamo parlando di un'altra cosa?
Se qualcuno potesse farmi degli esempi o spiegarmi i concetti di cui sopra come se li dovesse spiegare ad un bambino di 6 anni (mi pare di essere a quei livelli) gliene sarei infinitamente grato.
Si parte dal concetto di segmento orientato (ok), di equipollenza (ok), di vettore libero - definito come classe di segmenti orientati equipollenti (err... ok), di somma dei vettori del piano (ok).
Da li' si passa proprio al concetto di "spazio vettoriale" (definito in base alle sue proprieta') e non capisco piu' nulla.
Parte dicendo: "fissiamo un campo numerico K (ex K=R, ok) e sia V un insieme di elementi v1, v2,... . V e' uno spazio vettoriale su K se in V sono date le operazioni di somma (...) e prodotto per scalare (...) che soddisfano i seguenti assiomi (...). Gli elementi di K vengono detti scalari, gli elementi di V vengono detti vettori."
Sono confuso. Innanzitutto posso immaginarmi uno spazio vettoriale o e' solo un concetto astratto? E i vettori definiti come v1, v2, sono immaginabili graficamente come quelle "freccette" (tanto per capirci) da cui si e' partiti o e' stiamo parlando di un'altra cosa?
Se qualcuno potesse farmi degli esempi o spiegarmi i concetti di cui sopra come se li dovesse spiegare ad un bambino di 6 anni (mi pare di essere a quei livelli) gliene sarei infinitamente grato.
Il concetto di spazio vettoriale è una generalizzazione del concetto di insiemi di vettori , quelli con le freccette tanto per intenderci.
Il vettore (con le freccette) è però limitato al max a 3 dimensioni perchè il nostro mondo fisico così è fatto.
Lo spazio vettoriale invece è ad n dimensioni , con n qualunque .
Partiamo da n=2 , se tu pensi al vettore (1,2) lo puoi facilmente rappresentare sul piano cartesiano come il vettore che ha un estremo nell'origine e l'altro nel punto P di coordinate (1,2).
Adesso estendi il concetto , dimentica la rappresentazione fisica con freccette e pensa alla n-pla di numeri reali(1,2,3,4,5,6) : bene anche questo è un vettore nello spazio a 6 dimensioni essendo quindi n=6 .
Puoi tranquillamente estendere il concetto di modulo o norma di un vettore( per i vettori "con freccette" è la lunghezza del vettore stesso).
Per il primo vettore , il modulo è : sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) , non è altro che l'applicazione del T. di Pitagora.
Per il secondo vettore si estende il concetto di norma e la si calcola in modo analogo :
sqrt(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = sqrt(91).
Se devi sommare due vettori nel piano ( n=2) ad es.
a= (1,7)
b=(3,-2)
ottieni il vettore : a+b = (3+1,7-2) = (4,5) sommando le componenti omonime.
Se siamo nello spazio a 5 dimensioni , n=5, siamo in R ^5 ,si opera allo stesso modo :
a=(4,2,-1,8,0)
b=(2,-8,4,-2,-1)
ottieni il vettore a+b = (6,-6,3,6,-1).
Si estende ad R^n anche la moltiplicazione di un vettore per un numero reale :
3*(1,-5,7,-3)= ( 3,-15,21,-9) .
Certo bisogna abbandonare le idee di rappresentazioni grafiche.
Di che elementi sono costituiti gli spazi vettoriali ?
Qualunque, non solo vettori , come descritti prima , cioè ennuple di numeri reali ma anche altri oggetti, basta che rispettino gli assiomi propri degli spazi vettoriali.
Pensa ad esempio alle funzioni continue da R ad R : sono un sottospazio vettoriale perchè soddisfano i due requisiti fondamentali:
* somma : la somma di due funzioni continue è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso sottospazio vettoriale
*prodotto vettore per scalare : il prodotto di uno scalare per una funzione continua è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso sottospazio vettoriale.
In questo caso gli elementi dello spazio vettoriale sono addirittura delle funzioni , si è fatta molta strada rispetto al concetto iniziale di vettori con le freccette !!
Spero di non averti confuso del tutto le idee.....
Camillo
Il vettore (con le freccette) è però limitato al max a 3 dimensioni perchè il nostro mondo fisico così è fatto.
Lo spazio vettoriale invece è ad n dimensioni , con n qualunque .
Partiamo da n=2 , se tu pensi al vettore (1,2) lo puoi facilmente rappresentare sul piano cartesiano come il vettore che ha un estremo nell'origine e l'altro nel punto P di coordinate (1,2).
Adesso estendi il concetto , dimentica la rappresentazione fisica con freccette e pensa alla n-pla di numeri reali(1,2,3,4,5,6) : bene anche questo è un vettore nello spazio a 6 dimensioni essendo quindi n=6 .
Puoi tranquillamente estendere il concetto di modulo o norma di un vettore( per i vettori "con freccette" è la lunghezza del vettore stesso).
Per il primo vettore , il modulo è : sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) , non è altro che l'applicazione del T. di Pitagora.
Per il secondo vettore si estende il concetto di norma e la si calcola in modo analogo :
sqrt(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = sqrt(91).
Se devi sommare due vettori nel piano ( n=2) ad es.
a= (1,7)
b=(3,-2)
ottieni il vettore : a+b = (3+1,7-2) = (4,5) sommando le componenti omonime.
Se siamo nello spazio a 5 dimensioni , n=5, siamo in R ^5 ,si opera allo stesso modo :
a=(4,2,-1,8,0)
b=(2,-8,4,-2,-1)
ottieni il vettore a+b = (6,-6,3,6,-1).
Si estende ad R^n anche la moltiplicazione di un vettore per un numero reale :
3*(1,-5,7,-3)= ( 3,-15,21,-9) .
Certo bisogna abbandonare le idee di rappresentazioni grafiche.
Di che elementi sono costituiti gli spazi vettoriali ?
Qualunque, non solo vettori , come descritti prima , cioè ennuple di numeri reali ma anche altri oggetti, basta che rispettino gli assiomi propri degli spazi vettoriali.
Pensa ad esempio alle funzioni continue da R ad R : sono un sottospazio vettoriale perchè soddisfano i due requisiti fondamentali:
* somma : la somma di due funzioni continue è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso sottospazio vettoriale
*prodotto vettore per scalare : il prodotto di uno scalare per una funzione continua è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso sottospazio vettoriale.
In questo caso gli elementi dello spazio vettoriale sono addirittura delle funzioni , si è fatta molta strada rispetto al concetto iniziale di vettori con le freccette !!
Spero di non averti confuso del tutto le idee.....
Camillo
Quello che ho cercato di sommarizzare è :
*passare dai vettori con freccette e quindi limitati al caso n=3 ai vettori intesi come ennuple ordinate di numeri reali e quindi senza più limitazioni sul numero di dimensioni dello spazio.
* far veder che gli oggetti che popolano gli spazi vettoriali possono essere qualunque, non solo vettori; basta che soddisifino certi principi/assiomi
Quindi le funzioni continue ma anche i polinomi in una incognita di grado <= n : infatti la somma di due polinomi di grado <= n è ancora un polinomio di grado <= n e anche il prodotto di un numero reale per un polinomio di grado <= nè ancora un polinomio di grado <= n e quindi questi polinomi costistuiscono uno spazio vettoriale.
Camillo
*passare dai vettori con freccette e quindi limitati al caso n=3 ai vettori intesi come ennuple ordinate di numeri reali e quindi senza più limitazioni sul numero di dimensioni dello spazio.
* far veder che gli oggetti che popolano gli spazi vettoriali possono essere qualunque, non solo vettori; basta che soddisifino certi principi/assiomi
Quindi le funzioni continue ma anche i polinomi in una incognita di grado <= n : infatti la somma di due polinomi di grado <= n è ancora un polinomio di grado <= n e anche il prodotto di un numero reale per un polinomio di grado <= nè ancora un polinomio di grado <= n e quindi questi polinomi costistuiscono uno spazio vettoriale.
Camillo
Camillo grazie mille, sei stato chiarissimo. Pensa che il mio dilemma era capire tanto per cominciare come un vettore "freccetta" avesse a che fare con un (1, 2) o un (4, 5, 7 ) che invece immaginavo come un punto solo nel piano/spazio! Mi era addirittura venuto il dubbio che si usasse lo stesso termine con due significati diversi, imbarazzante. Non aiuta il fatto che sto studiando su delle dispense che sono un po', aihme', aride.
Una veloce domandina sulle notazioni: uno spazio a "n" dimensioni viene indicato con R^n. Come mai a volte (sulle mie dispense) quel "n" non e' indicato stile potenza (^) ma e' "in basso a destra" (chiedo venia ma non mi ricordo come si chiama
). E' una sorta di notazione alternativa o indica altro?
Inoltre avresti mica un link o un elenco delle principali notazioni che si usano in matematica (ex: simbolo di appartenenza, etc)?
Grazie ancora.
Una veloce domandina sulle notazioni: uno spazio a "n" dimensioni viene indicato con R^n. Come mai a volte (sulle mie dispense) quel "n" non e' indicato stile potenza (^) ma e' "in basso a destra" (chiedo venia ma non mi ricordo come si chiama
). E' una sorta di notazione alternativa o indica altro?Inoltre avresti mica un link o un elenco delle principali notazioni che si usano in matematica (ex: simbolo di appartenenza, etc)?
Grazie ancora.
Eccomi di nuovo qua. Scusatemi se sono pedante ma voglio capire il tutto fino in fondo.
Pensa ad esempio alle funzioni continue da R ad R : sono uno spazio vettoriale perchè soddisfano i due requisiti fondamentali:
"* somma : la somma di due funzioni continue è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso spazio vettoriale
*prodotto vettore per scalare : il prodotto di uno scalare per una funzione continua è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso spazio vettoriale. "
Le mie dispense definiscono uno spazio vettoriale in relazione alle operazioni di somma e prodotto in modo diverso da quanto hai scritto; la tua definizione mi sembra uno dei due criteri per identificare un sottospazio vettoriale, giusto? (sia chiaro che non voglio farti le pulci, e' solo per chiarire dubbi)
Pensa ad esempio alle funzioni continue da R ad R : sono uno spazio vettoriale perchè soddisfano i due requisiti fondamentali:
"* somma : la somma di due funzioni continue è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso spazio vettoriale
*prodotto vettore per scalare : il prodotto di uno scalare per una funzione continua è ancora una funzione continua e quindi appartiene ancora allo stesso spazio vettoriale. "
Le mie dispense definiscono uno spazio vettoriale in relazione alle operazioni di somma e prodotto in modo diverso da quanto hai scritto; la tua definizione mi sembra uno dei due criteri per identificare un sottospazio vettoriale, giusto? (sia chiaro che non voglio farti le pulci, e' solo per chiarire dubbi)
Sì, esatto le condizioni riguardano i sottospazi vettoriali .
Si dice sottospazio vettoriale di R^n ogni sottoinsieme non vuoto di vettori V appartenente a R^n che sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto esterno definite in R ^n.
In poche parole un sottospazio vettoriale V deve essere tale che la somma di due vettori qualsiasi , v1, v2 appartenenti a V sia ancora in V e che il prodotto esterno di un vettore v appartenente a V per uno scalare sia ancora in V.
Questo significa essere chiuso rispetto alla operazioni.
Camillo
Si dice sottospazio vettoriale di R^n ogni sottoinsieme non vuoto di vettori V appartenente a R^n che sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto esterno definite in R ^n.
In poche parole un sottospazio vettoriale V deve essere tale che la somma di due vettori qualsiasi , v1, v2 appartenenti a V sia ancora in V e che il prodotto esterno di un vettore v appartenente a V per uno scalare sia ancora in V.
Questo significa essere chiuso rispetto alla operazioni.
Camillo
Ecco un esempio più completo.
Sia F l'insieme delle funzioni f: da R in R . Se f, g appartengono a F e a appartiene a R , sono definite l'addizione e la moltiplicazione scalare per i numeri reali nel modo seguente :
(f+g)(x) = f(x)+ g(x) per qualunque x app. a R.
(af)(x) = a*f(x) per qualunque x app. a R .
Si dimostra facilmente che F è uno spazio vettoriale su R( proprietà associativa , commutativa etc., l'elemento neutro è la funzione identicamente nulla f(x) = 0 per qualunque x app. a R. etc.)
*Stabilire se l'insieme delle funzioni monotone è un sottospazio vettoriale di F .
Non lo è perchè basta pensare a queste due funzioni ad esempio :
f(x) = x , monotona
g(x) = -x^3, monotona
la loro somma : x-x^3 non è monotona !!
Camillo
Sia F l'insieme delle funzioni f: da R in R . Se f, g appartengono a F e a appartiene a R , sono definite l'addizione e la moltiplicazione scalare per i numeri reali nel modo seguente :
(f+g)(x) = f(x)+ g(x) per qualunque x app. a R.
(af)(x) = a*f(x) per qualunque x app. a R .
Si dimostra facilmente che F è uno spazio vettoriale su R( proprietà associativa , commutativa etc., l'elemento neutro è la funzione identicamente nulla f(x) = 0 per qualunque x app. a R. etc.)
*Stabilire se l'insieme delle funzioni monotone è un sottospazio vettoriale di F .
Non lo è perchè basta pensare a queste due funzioni ad esempio :
f(x) = x , monotona
g(x) = -x^3, monotona
la loro somma : x-x^3 non è monotona !!
Camillo
Mitico. Grazie ancora Camillo, inizio a vedere la luce al fondo del tunnel (spero solo che non sia un treno in arrivo)
Per sigma
Se vuoi veramente capire cosa significhino spazio vettoriale , sottospazio vettoriale etc.oltre allo studio della teoria sulla dispensa devi procurarti degli esercizi da svolgere : dopo ti sarà più chiara anche la teoria.
Camillo
Se vuoi veramente capire cosa significhino spazio vettoriale , sottospazio vettoriale etc.oltre allo studio della teoria sulla dispensa devi procurarti degli esercizi da svolgere : dopo ti sarà più chiara anche la teoria.
Camillo
I concetti che mi hai spiegato sono adesso chiari e presto' iniziero con gli esercizi.
Purtroppo ci sono ancora un po' di ostacoli da superare. Mentre il concetto di dipendenza lineare mi pare chiaro, la definizione che mi e' data di base e dimensione e' piuttosto ermetica. Sapresti spiegarmi questi ultimi due concetti in "parole povere"? (se sto abusando della tua disponibilita' ignorami pure )
Purtroppo ci sono ancora un po' di ostacoli da superare. Mentre il concetto di dipendenza lineare mi pare chiaro, la definizione che mi e' data di base e dimensione e' piuttosto ermetica. Sapresti spiegarmi questi ultimi due concetti in "parole povere"? (se sto abusando della tua disponibilita' ignorami pure
)
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