[Algebra Lineare] Autovalori di un'equazione differenziale

[TTOttoTTO]

Salve a tutti.

Ho dei problemi a risolvere il seguente esercizio: " Determinare gli autovalori reali di $A(u)=ddot u + dot u$ ".
Ho appena terminato il corso di Algebra Lineare ma non ci sono mai stati fatti esempi di esercizi sugli autovalori che non fossero legati a spazi euclidei. Come devo svolgere il conto in questo caso?

Grazie per l'attenzione.

[Sk_Anonymous]

Sei sicuro di non avere delle condizioni al contorno?

[TTOttoTTO]

No! Ho riportato fedelmente la consegna dell'esercizio!

[Sk_Anonymous]

Allora $[lambdainRR]$. Del resto:

$[Au=lambdau] rarr [ddotu+dotu=lambdau] rarr [ddotu+dotu-lambdau]=0$

e l'ultima equazione differenziale, al di là della discussione, ammette soluzioni per $[lambdainRR]$. Per questo motivo, mi aspettavo delle condizioni al contorno soddisfatte solo per particolari valori di $[lambda]$.

[TTOttoTTO]

Pensavo fosse più complicato! Grazie della risposta. Un'ultima domanda. Può accadere che in corrispondenza di un autovalore reale l'autovettore, in questo caso la funzione, sia complesso?

[Sk_Anonymous]

Certamente sì. Quando, dopo aver risolto l'equazione caratteristica e distinto i vari casi, si costruisce la combinazione lineare delle due soluzioni linearmente indipendenti, nulla vieta che i coefficienti della combinazione lineare possano essere presi complessi.

[TTOttoTTO]

Grazie mille per i chiarimenti. Un mio amico si ostinava a dire che da autovalori reali non si potesse arrivare ad autovettori complessi ma non capivo proprio il perchè dato che negli spazi euclidei ho visto esempi su esempi di tale comportamento.