Algebra lineare
Ciao a tutti...fra qalke giorno ho l'esame di algebra lineare... e c'è 1 esercizio ke non riesco proprio a fare... eccolo:
Esercizio
Sia V lo spazio vettoriale su $RR$ formato dai polinomi di grado $<=$ 2 e sia $< , > : V × V \rightarrow R$ il prodotto scalare definito da
$ =\int_0^1f(x) · g(x) dx − (fg)'(0) $
(i) Rispetto alla base ${1, x, x^2}$ determinare la matrice assaciata a $< , >$.
(ii) Dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere.
(iii) Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
(iv) Trovare, se esiste, una base ortonormale.
Grazie a tutti per la disponibilità!
Esercizio
Sia V lo spazio vettoriale su $RR$ formato dai polinomi di grado $<=$ 2 e sia $< , > : V × V \rightarrow R$ il prodotto scalare definito da
$
(i) Rispetto alla base ${1, x, x^2}$ determinare la matrice assaciata a $< , >$.
(ii) Dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere.
(iii) Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
(iv) Trovare, se esiste, una base ortonormale.
Grazie a tutti per la disponibilità!
Risposte
beh è molto semplice trovare la matrice associata
semplicemente sai che nella i-esima riga e j-colonna, per i, j=1,2,3
c'è il prodotto scalare dell'i-esimiìo vettore di base con il j-esimo vettore di base.
quindi la matrice è così fatta
$A=((1,-1/2,1/3),(-1/2,1/3,1/4),(1/3,1/4,1/5))$
che ovviamente è simmetrica.
per rispondere alle altre domande io ti direi trova gli autovalori della matrice e vedere gli autovalori e poi una base ortonormale esiste in quanto vale il teorema spettrale.
semplicemente sai che nella i-esima riga e j-colonna, per i, j=1,2,3
c'è il prodotto scalare dell'i-esimiìo vettore di base con il j-esimo vettore di base.
quindi la matrice è così fatta
$A=((1,-1/2,1/3),(-1/2,1/3,1/4),(1/3,1/4,1/5))$
che ovviamente è simmetrica.
per rispondere alle altre domande io ti direi trova gli autovalori della matrice e vedere gli autovalori e poi una base ortonormale esiste in quanto vale il teorema spettrale.
"miuemia":
beh è molto semplice trovare la matrice associata
semplicemente sai che nella i-esima riga e j-colonna, per i, j=1,2,3
c'è il prodotto scalare dell'i-esimiìo vettore di base con il j-esimo vettore di base.
quindi la matrice è così fatta
$A=((1,-1/2,1/3),(-1/2,1/3,1/4),(1/3,1/4,1/5))$
che ovviamente è simmetrica.
per rispondere alle altre domande io ti direi trova gli autovalori della matrice e vedere gli autovalori e poi una base ortonormale esiste in quanto vale il teorema spettrale.
Ok, grazie 100 x l'aiuto...penso di aver capito...
Se Ker(A)={0} allora è non degenere...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo