Algebra lineare
Salve, non riesco a capire una cosa.
Avevo nel compito questo esercizio:
Sia $f_a$ $in$ End( R(2)) definito da $f_a$(X)= [A,X] , ed A = $((4,3),(3,-4))$ ;
Determinare autovalori ed autovettori e discuterne la diagonalizzabilità.
Io ho iniziato a svolgere così:
$f_a$(X) = [A,X] = AX-XA
La X dovrebbe essere (chiedo chiarimenti) la matrice delle coordinate X = $((x,y),(z,t))$
Quindi ottengo una cosa di questo genere: $f_a$(X) = [$((4,3),(3,-4))$ * $((x,y),(z,t))$] - [$((x,y),(z,t))$ * $((4,3),(3,-4))$]
Ecco, apparte i semplici passaggi matematici di moltiplicazione e sottrazione di matrici non riesco ad andare più avanti.
Vorrei sapere se almeno l'impostazione iniziale è giusta e capire come risolvere l'esercizio.
Grazie mille.
Avevo nel compito questo esercizio:
Sia $f_a$ $in$ End( R(2)) definito da $f_a$(X)= [A,X] , ed A = $((4,3),(3,-4))$ ;
Determinare autovalori ed autovettori e discuterne la diagonalizzabilità.
Io ho iniziato a svolgere così:
$f_a$(X) = [A,X] = AX-XA
La X dovrebbe essere (chiedo chiarimenti) la matrice delle coordinate X = $((x,y),(z,t))$
Quindi ottengo una cosa di questo genere: $f_a$(X) = [$((4,3),(3,-4))$ * $((x,y),(z,t))$] - [$((x,y),(z,t))$ * $((4,3),(3,-4))$]
Ecco, apparte i semplici passaggi matematici di moltiplicazione e sottrazione di matrici non riesco ad andare più avanti.
Vorrei sapere se almeno l'impostazione iniziale è giusta e capire come risolvere l'esercizio.
Grazie mille.
Risposte
Forse mi sono spiegato male, ma io devo trovare gli autovalori della funzione $f_a$(X) = [A,X] dove le parentesi quadre indicano le parentesi di Lie, per cui non credo che possa direttamente prendere la matrice A e calcolarne gli autovalori etc...
È proprio questo il problmea, perchè il calcolo di autovalori e compagni abella la so fare.
È proprio questo il problmea, perchè il calcolo di autovalori e compagni abella la so fare.
Cioè io non riesco a calcolare la matrice associata a quella applicazione lineare, lo scoglio principale è quello.
Non devi certo arrossire, probabilmente ho dato per scontato la mia notazione delle parentesi di Lie.
Detto questo, avete qualche idea su quale sia la matrice associata all'applicazione lineare
$f_a$ = [A,X] dove $f_a$$in$End( R(2)) ??
Detto questo, avete qualche idea su quale sia la matrice associata all'applicazione lineare
$f_a$ = [A,X] dove $f_a$$in$End( R(2)) ??
Tu hai un'applicazione lineare (da verificare in effetti) da $M_(2xx2)(RR)->M_(2xx2)(RR)$ trova una base dello spazio, scrivi la matrice di trasformazione, che sarà 4x4 perchè lo spazio è di dimensione 4 e poi calcola autovalori e autovettori come al solito. se tutto ciò non ti dice niente posto qualche conto 
Perdona la mia ignoranza, ma se mi fai capire con un pò di conti ti sarò molto grato!
NIente da perdonare, giusto non mi andava di fare i conti sia
$X=((x,y),(z,t))$ viene mandata dalla nostra applicazione in $AX-XA=((3z-3y,3t-3x+8y),(3x-8z-3y,4y-4t))$ (a meno di errori di calcolo)
quindi $f_A:M_(2x2)->M_(2x2)$ prendo una base di questo spazio $E_1=((1,0),(0,0)),E_2=((0,1),(0,0)),E_3=((0,0),(1,0)),E_4==((0,0),(0,1))$ a te l'onere di verificare che sia una base e l'applicazione sia lineare.
se conosco le immagini dei vettori di una base posso costruire la matrice associata all'applicazione, li calcolo:
$f_A(E_1)=((0,3),(-3,0))=3*E_2-3*E_3=(0,3,-3,0)$
$f_A(E_2)=((-3,8),(-3,4))=-3*E_1+8*E_2-3*E_3+4*E_4=(3,8,-3,4)$
$f_A(E_3)=((3,0),(-8,0))=3*E_1-8*E_3=(3,0,-8,0)$
$f_A(E_4)=((0,3),(0,-4))=3*E_2-4*E_4=(0,3,0,4)$
la matrice dell'applicazione è $M_(f_A)=((0,3,3,0),(3,8,0,3),(-3,-3,-8,0),(0,4,0,4))$
dovrebbe essere tutto corretto, spero adesso sia più chiaro! ciao
sia $X=((x,y),(z,t))$ viene mandata dalla nostra applicazione in $AX-XA=((3z-3y,3t-3x+8y),(3x-8z-3y,4y-4t))$ (a meno di errori di calcolo)
quindi $f_A:M_(2x2)->M_(2x2)$ prendo una base di questo spazio $E_1=((1,0),(0,0)),E_2=((0,1),(0,0)),E_3=((0,0),(1,0)),E_4==((0,0),(0,1))$ a te l'onere di verificare che sia una base e l'applicazione sia lineare.
se conosco le immagini dei vettori di una base posso costruire la matrice associata all'applicazione, li calcolo:
$f_A(E_1)=((0,3),(-3,0))=3*E_2-3*E_3=(0,3,-3,0)$
$f_A(E_2)=((-3,8),(-3,4))=-3*E_1+8*E_2-3*E_3+4*E_4=(3,8,-3,4)$
$f_A(E_3)=((3,0),(-8,0))=3*E_1-8*E_3=(3,0,-8,0)$
$f_A(E_4)=((0,3),(0,-4))=3*E_2-4*E_4=(0,3,0,4)$
la matrice dell'applicazione è $M_(f_A)=((0,3,3,0),(3,8,0,3),(-3,-3,-8,0),(0,4,0,4))$
dovrebbe essere tutto corretto, spero adesso sia più chiaro! ciao
Un altro modo potrebbe essere quello di scegliere la base di $M_(2,2) ( RR )$ in maniera più furba.
Ad esempio, si nota che ogni potenza di $A$ commuta con $A$, quindi sta nel nucleo della tua applicazione.
Allora sicuramente ${I_2 \ , \ A \ , \ E_1 \ , \ E_2 \ , E_3 \ , E_4}$ è un insieme di generatori per $M_(2,2) ( RR )$; quindi ne estrai una base, e poi ti scrivi la matrice associata alla tua applicazione rispetto a questa base.
La matrice 4 x 4 che ottieni dovrebbe essere più semplice di quella scritta da rubik: le prime due colonne sono nulle.
Ma è un po' più incasinato estrarre la base.
Ad esempio, si nota che ogni potenza di $A$ commuta con $A$, quindi sta nel nucleo della tua applicazione.
Allora sicuramente ${I_2 \ , \ A \ , \ E_1 \ , \ E_2 \ , E_3 \ , E_4}$ è un insieme di generatori per $M_(2,2) ( RR )$; quindi ne estrai una base, e poi ti scrivi la matrice associata alla tua applicazione rispetto a questa base.
La matrice 4 x 4 che ottieni dovrebbe essere più semplice di quella scritta da rubik: le prime due colonne sono nulle.
Ma è un po' più incasinato estrarre la base.
Vi ringrazio per le risposte, sto cercando di comprenderl eper bene e non riesco a capire bene i passaggi in cui calcoli $f_a$($E_1$) etc.
Aspetta, forse ci sono.
Vediamo se sono riuscito a capire:
Siccome si tratta di una matrice $M_2x_2$ la mi abase canonica è quella che tu hai posto.
Quindi calcolando $f_a$($E_1$) etc... Trovo le colonne della matrice associata alla mia applicazione e della quale poi dovrò calcolare autoalori ed autovettori.
Vi ringrazio ancora.
Vediamo se sono riuscito a capire:
Siccome si tratta di una matrice $M_2x_2$ la mi abase canonica è quella che tu hai posto.
Quindi calcolando $f_a$($E_1$) etc... Trovo le colonne della matrice associata alla mia applicazione e della quale poi dovrò calcolare autoalori ed autovettori.
Vi ringrazio ancora.
"Alexiei":
Aspetta, forse ci sono.
Vediamo se sono riuscito a capire:
Siccome si tratta di una matrice $M_2x_2$ la mi abase canonica è quella che tu hai posto.
Quindi calcolando $f_a$($E_1$) etc... Trovo le colonne della matrice associata alla mia applicazione e della quale poi dovrò calcolare autoalori ed autovettori.
Vi ringrazio ancora.
perfetto
come qualcuno ha detto si può scegliere una base più furba della canonica ma non è necessario
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