Algebra lineare
Dubbio:una matrice e la sua trasposta sono equivalenti?Nel caso,come si dimostra???
Ciao!!!!
Ciao!!!!
Risposte
Solo se la matrice è simmetrica (intepretando quell'equivalenti come uguali).
No equivalenti nel senso che esistono due matrici invertibili B,C tali che A=CtAB.
Se non sbaglio l'equivalenza di cui parli classifica le matrici per rango. Quindi la risposta è sì.
Edito:
Edito:
Nel mio esercizio devo dimostrare o confutare questa affermazione:
A e tA sono matrici equivalenti (ossia esistono B,C invertibili tali che tA =
BAC).
Non sono sicura,ma non mi sembra la stessa definizione del teorema.
A e tA sono matrici equivalenti (ossia esistono B,C invertibili tali che tA =
BAC).
Non sono sicura,ma non mi sembra la stessa definizione del teorema.
Il teorema dice la seguente cosa nel caso delle matrici quadrate:
Date due matrici quadrate M ed N dello stesso ordine (uguale a n), le seguenti affermazioni sono equivalenti:
- esistono due matrici A e B invertibili di ordine n tali che AMB=N (in altre parole, M ed N sono equivalenti);
- M e N hanno lo stesso rango.
Lo stesso vale se le matrici non sono quadrate, ma l'ho scritto così per capirsi meglio.
In particolare, poiché ogni matrice ha lo stesso rango della sua trasposta (!), ogni matrice è equivalente alla sua trasposta.
Ora, si tratta di dimostrarlo
Date due matrici quadrate M ed N dello stesso ordine (uguale a n), le seguenti affermazioni sono equivalenti:
- esistono due matrici A e B invertibili di ordine n tali che AMB=N (in altre parole, M ed N sono equivalenti);
- M e N hanno lo stesso rango.
Lo stesso vale se le matrici non sono quadrate, ma l'ho scritto così per capirsi meglio.
In particolare, poiché ogni matrice ha lo stesso rango della sua trasposta (!), ogni matrice è equivalente alla sua trasposta.
Ora, si tratta di dimostrarlo
Grazie mille!Allora adesso il mio problema sta proprio nella dimostrazione.Che ogni matrice e la sua trasposta avessero lo stesso determinante lo sapevo,ma non riesco a dimostrare l'equivalenza delle due affermazioni.
Uffi!!!
Uffi!!!
Ah, innanzitutto dire che una matrice è equivalente alla trasposta, come dimenticavo, implica che tale matrice sia quadrata (perché se due matrici sono equivalenti, esse hanno lo stesso numero di righe e colonne).
Quindi siamo nel caso in cui la matrice data è quadrata. Questo non è male
Ora, detta M una tale matrice, dato che la trasposta tM ha non solo lo stesso determinante, ma anche lo stesso rango di M, M e tM sono equivalenti. Per mostrarlo basta prendere M, cambiare base a dominio e codominio in modo che la matrice nelle nuove basi sia tM.
Questa è l'idea, certo formalizzarla non è così "rose e fiori"... (ma nota bene: se puoi usare il teorema di cui sopra, basta dire che M e tM hanno lo stesso rango, quindi l'esercizio è finito).
Quindi siamo nel caso in cui la matrice data è quadrata. Questo non è male
Ora, detta M una tale matrice, dato che la trasposta tM ha non solo lo stesso determinante, ma anche lo stesso rango di M, M e tM sono equivalenti. Per mostrarlo basta prendere M, cambiare base a dominio e codominio in modo che la matrice nelle nuove basi sia tM.
Questa è l'idea, certo formalizzarla non è così "rose e fiori"... (ma nota bene: se puoi usare il teorema di cui sopra, basta dire che M e tM hanno lo stesso rango, quindi l'esercizio è finito).
Scusa,ma cosa vuoi dire con cambiare base a dominio e codominio?
Prendi la tua matrice M quadrata di ordine n, e vedila come applicazione lineare $RR^n to RR^n$ (o il campo in cui si trovano i coefficienti, al posto di $RR$) nella base canonica. Ora per ogni coppia di basi B, C di $RR^n$ puoi scrivere la matrice "nelle basi B, C", ovvero scrivendo le immagini dei vettori di B usando la base C. Ti è familiare questa procedura?
Per esempio se hai l'applicazione $RR^2 to RR^2$, lineare, rappresentata nella base canonica dalla matrice
$((1,2),(0,3))$
puoi prendere nel dominio la base $\{((1),(0)),((1),(1))\}$, nel codominio la base $\{((1),(2)),((0),(3))\}$, e in tali basi la applicazione lineare è rappresentata dalla matrice
$((1,3),(-2/3,-1))$
Se non hai mai visto una cosa di questo tipo, credo di non poterti aiutare
Per esempio se hai l'applicazione $RR^2 to RR^2$, lineare, rappresentata nella base canonica dalla matrice
$((1,2),(0,3))$
puoi prendere nel dominio la base $\{((1),(0)),((1),(1))\}$, nel codominio la base $\{((1),(2)),((0),(3))\}$, e in tali basi la applicazione lineare è rappresentata dalla matrice
$((1,3),(-2/3,-1))$
Se non hai mai visto una cosa di questo tipo, credo di non poterti aiutare
Non abbiamo mai parlato noi di basi canoniche e applicazioni così definite.Chiederò se magari qualcuno l'ha fatto senza ricorrere a questi mezzi.Grazie mille.
Peccato, perché mi è sovvenuta or ora una dimostrazione davvero semplice di quello che dici, usando l'algebra lineare 
Spero che tu trovi una dimostrazione che non ne faccia uso. Cià
Spero che tu trovi una dimostrazione che non ne faccia uso. Cià
Intendi dire usando la base canonica e quello che mi dicevi prima?
Sì, esatto, utilizzando nozioni come applicazione lineare, nucleo, immagine. Mi sembra strano che tu non abbia mai visto queste cose: io ho sempre visto le matrici come legate a particolari applicazioni lineari (omomorfismi di spazi vettoriali).
Sono sicura che finora non abbiamo fatto quello che mi dici tu,magari lo facciamo proprio domani.Nel caso ti faccio sapere e,magari,riesco anche a svolgere questa benedetta dimostrazione!
Grazie davvero di tutto.A presto (speriamo!)
Ciao!!
Grazie davvero di tutto.A presto (speriamo!)
Ciao!!
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