Algebra lineare.
Si consideri l'applicazione lineare
F:R4 -> R3 definita da:
F(x1,x2,x3,x4) = (x1+x3, 3x3-x4, x2).
E richiesto quanto segue:
a) la matrice di F rispetto alla base standard di R4 presa come base di partenza di R4
e a B = {(-1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)} presa come base di arrivo in R3.
b) una base per Ker(F) e una per Im(F).
c) F^-1 (1,-1,1).
Il nodo cruciale è il punto a (ovviamente) ....
grazie a chi vorrà darmi una mano.
Antonio.
F:R4 -> R3 definita da:
F(x1,x2,x3,x4) = (x1+x3, 3x3-x4, x2).
E richiesto quanto segue:
a) la matrice di F rispetto alla base standard di R4 presa come base di partenza di R4
e a B = {(-1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)} presa come base di arrivo in R3.
b) una base per Ker(F) e una per Im(F).
c) F^-1 (1,-1,1).
Il nodo cruciale è il punto a (ovviamente) ....
grazie a chi vorrà darmi una mano.
Antonio.
Risposte
Ciao..
ricorda di considerare che la matrice($A$) di F rispetto ad $E$ in partenza e $B$ in arrivo ($E$ base canonica di $RR^4$) la puoi trovare semplicemente così:
$F(e_i)=suma_(ij)b_i$
ciao
ricorda di considerare che la matrice($A$) di F rispetto ad $E$ in partenza e $B$ in arrivo ($E$ base canonica di $RR^4$) la puoi trovare semplicemente così:
$F(e_i)=suma_(ij)b_i$
ciao
Per il punto a) io farei così:
la base canonica di $\mathbb{R}^3$ è data dai vettori $e_1=((1),(0),(0))$, $e_2=((0),(1),(0))$, $e_3=((0),(0),(1))$, inoltre, se $X=((x_1),(x_2),(x_3))$, allora $x_i=e_i^{t}X$, per $i=1,2,3$.
La nuova base è data dai vettori $e_1'=((-1),(1),(0))=-e_1+e_2$, $e_2'=((1),(0),(1))=e_1+e_3$, $e_3'=((0),(0),(1))=e_3$, con un po' di conti si può scrivere l'immagine rispetto alla nuova base:
$((-x_1+2x_3-x_4),(x_1+x_2+x_3),(x_2))=x_1((-1),(1),(0))+x_2((0),(1),(1))+x_3((2),(1),(0))+x_4((-1),(0),(0))$
L'immagine è lo spazio generato da questi quattro vettori, mentre la matrice che rappresenta l'applicazione ha per colonne questi stessi vettori.
Per scrivere l'equazione cartesiana del ker basta impostare il sistema $AX=O$, dove $A$ è la matrice che rappresenta l'applicazione e $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo.
Per trovare la controimmagine del vettore $((1),(-1),(1))$ ti basta rivolvere il sistema $AX=((1),(-1),(1))$.
EDIT: quando ho iniziato a scrivere ancora non avevo letto la tua risposta Ravok.
la base canonica di $\mathbb{R}^3$ è data dai vettori $e_1=((1),(0),(0))$, $e_2=((0),(1),(0))$, $e_3=((0),(0),(1))$, inoltre, se $X=((x_1),(x_2),(x_3))$, allora $x_i=e_i^{t}X$, per $i=1,2,3$.
La nuova base è data dai vettori $e_1'=((-1),(1),(0))=-e_1+e_2$, $e_2'=((1),(0),(1))=e_1+e_3$, $e_3'=((0),(0),(1))=e_3$, con un po' di conti si può scrivere l'immagine rispetto alla nuova base:
$((-x_1+2x_3-x_4),(x_1+x_2+x_3),(x_2))=x_1((-1),(1),(0))+x_2((0),(1),(1))+x_3((2),(1),(0))+x_4((-1),(0),(0))$
L'immagine è lo spazio generato da questi quattro vettori, mentre la matrice che rappresenta l'applicazione ha per colonne questi stessi vettori.
Per scrivere l'equazione cartesiana del ker basta impostare il sistema $AX=O$, dove $A$ è la matrice che rappresenta l'applicazione e $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo.
Per trovare la controimmagine del vettore $((1),(-1),(1))$ ti basta rivolvere il sistema $AX=((1),(-1),(1))$.
EDIT: quando ho iniziato a scrivere ancora non avevo letto la tua risposta Ravok.
Tranquillo 
Chiedo scusa ma ho alcuni dubbi: la matrice associata all'applicazione nella canonica è evidente essere la "matrice dei coeff. del sistema"
ma che significa "esprimere la matrice che ha come base di arrivo la B" che, ovvio, è diversa dalla E ?
E' questo che non riesco a capire. Cioè se fossimo stati nella canonica (sia in partenza che in arrivo) mi sarebbe stato tutto chiaro,
quello che non so è come riuscure ad esprimere la matrice richiesta che ha come base di partenza la canonica e "come base di arrivo" un'altra base.
Che significa in termini pratici?
Magari per voi è una banalità, ma io non ho capito come fare.
Grazie.
ma che significa "esprimere la matrice che ha come base di arrivo la B" che, ovvio, è diversa dalla E ?
E' questo che non riesco a capire. Cioè se fossimo stati nella canonica (sia in partenza che in arrivo) mi sarebbe stato tutto chiaro,
quello che non so è come riuscure ad esprimere la matrice richiesta che ha come base di partenza la canonica e "come base di arrivo" un'altra base.
Che significa in termini pratici?
Magari per voi è una banalità, ma io non ho capito come fare.
Grazie.
Prima cosa: non ti scusare di nulla
Seconda cosa: mi sa di aver scritto un mucchio di cavolate nel mio post precedente, cerco dunque di rimediare...
Siano $e_1=((1),(0),(0))$, $e_2=((0),(1),(0))$, $e_3=((0),(0),(1))$, allora $E=(e_1, e_2, e_3)$ è la base canonica.
L'immagine, rispetto alla base canonica si scrive come $((x_1+x_3),(3x_3-x_4),(x_2))$, infatti questo vettore equivale a:
$(x_1+x_3)e_1 + (3x_3-x_4)e_2+(x_2)e_3$
L'esercizio ti dice di considerare la base $B=(b_1, b_2, b_3)$ e di scrivere l'immagine rispetto a questa base, lo scopo quindi è determinare tre coefficienti, $\alpha, \beta, \gamma$, in modo che $(x_1+x_3)e_1 + (3x_3-x_4)e_2+(x_2)e_3=\alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3$.
In questo modo il l'immagine rispetto alla base $B$ sarà $((\alpha),(\beta),(\gamma))$
$b_1=((-1),(1),(0))$, quindi $b_1=-e_1+e_2$, procedendo analogamente anche per gli altri si trova $b_2=e_1+e_3$ e $b_3=e_3$, quindi, in definitiva, si trova questo sistema:
$\{(b_1=-e_1+e_2),(b_2=e_1+e_3),(b_3=e_3):}$
Risolvendo rispetto a $e_1, e_2, e_3$ si trova:
$\{(e_1=b_2-b_3),(e_2=b_1+b_2-b_3),(e_3=b_3):}$
L'immagine risultava essere $(x_1+x_3)e_1 + (3x_3-x_4)e_2 + (x_2)e_3$, andando a sostituire i valori trovati si ricava:
$(x_1+x_3)(b_2-b_3)+(3x_3-x_4)(b_1+b_2-b_3)+(x_2)b_3$
Andando a mettere in evidenza i vettori $b_1, b_2, b_3$ si trova:
$(3x_3-x_4)b_1 + (x_1+x_3+2x_4)b_2+(-x_1+x_2-4x_3+x_4)b_3$, quindi l'immagine rispetto alla base $B$ vale:
$((3x_3-x_4),(x_1+x_3+2x_4),(-x_1+x_2-4x_3+x_4))$
Seconda cosa: mi sa di aver scritto un mucchio di cavolate nel mio post precedente, cerco dunque di rimediare...
Siano $e_1=((1),(0),(0))$, $e_2=((0),(1),(0))$, $e_3=((0),(0),(1))$, allora $E=(e_1, e_2, e_3)$ è la base canonica.
L'immagine, rispetto alla base canonica si scrive come $((x_1+x_3),(3x_3-x_4),(x_2))$, infatti questo vettore equivale a:
$(x_1+x_3)e_1 + (3x_3-x_4)e_2+(x_2)e_3$
L'esercizio ti dice di considerare la base $B=(b_1, b_2, b_3)$ e di scrivere l'immagine rispetto a questa base, lo scopo quindi è determinare tre coefficienti, $\alpha, \beta, \gamma$, in modo che $(x_1+x_3)e_1 + (3x_3-x_4)e_2+(x_2)e_3=\alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3$.
In questo modo il l'immagine rispetto alla base $B$ sarà $((\alpha),(\beta),(\gamma))$
$b_1=((-1),(1),(0))$, quindi $b_1=-e_1+e_2$, procedendo analogamente anche per gli altri si trova $b_2=e_1+e_3$ e $b_3=e_3$, quindi, in definitiva, si trova questo sistema:
$\{(b_1=-e_1+e_2),(b_2=e_1+e_3),(b_3=e_3):}$
Risolvendo rispetto a $e_1, e_2, e_3$ si trova:
$\{(e_1=b_2-b_3),(e_2=b_1+b_2-b_3),(e_3=b_3):}$
L'immagine risultava essere $(x_1+x_3)e_1 + (3x_3-x_4)e_2 + (x_2)e_3$, andando a sostituire i valori trovati si ricava:
$(x_1+x_3)(b_2-b_3)+(3x_3-x_4)(b_1+b_2-b_3)+(x_2)b_3$
Andando a mettere in evidenza i vettori $b_1, b_2, b_3$ si trova:
$(3x_3-x_4)b_1 + (x_1+x_3+2x_4)b_2+(-x_1+x_2-4x_3+x_4)b_3$, quindi l'immagine rispetto alla base $B$ vale:
$((3x_3-x_4),(x_1+x_3+2x_4),(-x_1+x_2-4x_3+x_4))$
in termini pratici:
$F(e_1)=a_(11)b1+a_(21)b2+a_(31)b3$ cioè
$F((1,0,0,0))=a_(11)(-1,1,0)+a_(21)(1,0,1)+a_(31)(0,0,1)$ cioè
$(1,0,0)=a_(11)(-1,1,0)+a_(21)(1,0,1)+a_(31)(0,0,1)$
ti fai il tuo sistemino (in generale, ma qui si vede a occhio) e trovi la prima colonna della tua matrice che in questo caso è $3x3$. Procedi poi con $F(e_2)$ e trovi la seconda colonna e infine ti trovi la terza. In pratica tutto qui...
cia
edito: $a_(11)$ sarebbe il posto in matrice alla prima riga prima colonna.....a scanso di equivoci
$F(e_1)=a_(11)b1+a_(21)b2+a_(31)b3$ cioè
$F((1,0,0,0))=a_(11)(-1,1,0)+a_(21)(1,0,1)+a_(31)(0,0,1)$ cioè
$(1,0,0)=a_(11)(-1,1,0)+a_(21)(1,0,1)+a_(31)(0,0,1)$
ti fai il tuo sistemino (in generale, ma qui si vede a occhio) e trovi la prima colonna della tua matrice che in questo caso è $3x3$. Procedi poi con $F(e_2)$ e trovi la seconda colonna e infine ti trovi la terza. In pratica tutto qui...
cia
edito: $a_(11)$ sarebbe il posto in matrice alla prima riga prima colonna.....a scanso di equivoci
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