ALGEBRA - Funzioni lineari
per funzione lineare(omomorfismo) definita su due spazi vettoriali V,V' si intende una funzione f:V->V' che verifica
f(u+v)=f(u) + f(v)
f(au)=af(u)
oppure raggruppata in un unica espressione f(au+bv)=af(u) + bf(v)
Esistono tre tipi di funzioni lineare classificate come:
Monomorfismo: se la funzione è iniettiva, ed è tale se e solo se ker f={0}
Epimorfismo: se la funzione è suriettiva, ed è tale se accade che V'=Im f ovvero quando V' corrisponde al codominio di f
Isomorfismo: se la funzione è biettiva, ed è tale se f ammetta inversa f^-1
Una funzione del tipo f: V->V definita sullo stesso spazio vettoriale è detta Endomorfismo
E' tale che f(v)=av dove v è il suo autovettore e a il suo unico autovalore(scalare per il quale l'autovalore può cambiare direzione)
Per capire se una funzione è lineare a livello teorico so che bisogna vedere che rispecchi la def quindi:
f è lineare se f(au+bv)=af(u) + bf(v)
Visto che non ho capito come si verifica a livello pratico, ho dedotto che f è lineare se è una funz di primo grando!
Mi potreste aiutare a capire come si procede a verificare se una funz è lineare o meno perfavore?
Inoltre ci sarebbero altre nozioni/proprietà da sapere che riguardano le applicazioni lineari(monomorfismo,epimorfismo,isomorfismo)?
Grazie per la sola lettura!
f(u+v)=f(u) + f(v)
f(au)=af(u)
oppure raggruppata in un unica espressione f(au+bv)=af(u) + bf(v)
Esistono tre tipi di funzioni lineare classificate come:
Monomorfismo: se la funzione è iniettiva, ed è tale se e solo se ker f={0}
Epimorfismo: se la funzione è suriettiva, ed è tale se accade che V'=Im f ovvero quando V' corrisponde al codominio di f
Isomorfismo: se la funzione è biettiva, ed è tale se f ammetta inversa f^-1
Una funzione del tipo f: V->V definita sullo stesso spazio vettoriale è detta Endomorfismo
E' tale che f(v)=av dove v è il suo autovettore e a il suo unico autovalore(scalare per il quale l'autovalore può cambiare direzione)
Per capire se una funzione è lineare a livello teorico so che bisogna vedere che rispecchi la def quindi:
f è lineare se f(au+bv)=af(u) + bf(v)
Visto che non ho capito come si verifica a livello pratico, ho dedotto che f è lineare se è una funz di primo grando!
Mi potreste aiutare a capire come si procede a verificare se una funz è lineare o meno perfavore?
Inoltre ci sarebbero altre nozioni/proprietà da sapere che riguardano le applicazioni lineari(monomorfismo,epimorfismo,isomorfismo)?
Grazie per la sola lettura!
Risposte
Un'applicazione è lineare se verifica la definizione, non devi far altro che applicarla.
Un'applicazione lineare tra due spazi uguali (cioè ove $V=V'$) si chiama endomorfismo, ma con la nozione di autovalore / autovettore non c'entra nulla. Sono concetti distinti.
Esempio pratico di applicazioni lineari, così magari ti aiuta un po' di più:
considera $f : RR^2 \to RR^2$ tale che $f(x,y)=(x+y,y)$
Verifichiamo se è lineare: $f(x,y)+f(x',y')=(x+y,y)+(x'+y',y')=(x+y+x'+y',y+y')=f(x+x',y+y')$; inoltre $lambdaf(x,y)=lambda(x+y,y)=(lambdax+lambday,lambday)=f(lambdax,lambday)$
Abbiamo dimostrato che è lineare, ed inoltre, essendo il dominio uguale al codomio, questa è un endomorfismo.
Piccolo esercizio, verifica se $f(x,y)=(x+y,y+1)$ è un'applicazione lineare
Un'applicazione lineare tra due spazi uguali (cioè ove $V=V'$) si chiama endomorfismo, ma con la nozione di autovalore / autovettore non c'entra nulla. Sono concetti distinti.
Esempio pratico di applicazioni lineari, così magari ti aiuta un po' di più:
considera $f : RR^2 \to RR^2$ tale che $f(x,y)=(x+y,y)$
Verifichiamo se è lineare: $f(x,y)+f(x',y')=(x+y,y)+(x'+y',y')=(x+y+x'+y',y+y')=f(x+x',y+y')$; inoltre $lambdaf(x,y)=lambda(x+y,y)=(lambdax+lambday,lambday)=f(lambdax,lambday)$
Abbiamo dimostrato che è lineare, ed inoltre, essendo il dominio uguale al codomio, questa è un endomorfismo.
Piccolo esercizio, verifica se $f(x,y)=(x+y,y+1)$ è un'applicazione lineare
beh a livello pratico mi vien facile dire che non lo è xkè quell' 1 avrà un grado pari a 0 il che rende non lineare f
continuo a non capire... xkè sei partito così per verificare la somma?
f(x,y)+f(x',y')=....
continuo a non capire... xkè sei partito così per verificare la somma?
f(x,y)+f(x',y')=....
ho solo letto l'uguaglianza $f(u+v)=f(v)+f(u)$ dall'altro lato.
Beh prova a fare l'esercizio in maniera più rigorosa ti tornerà utile.
Beh prova a fare l'esercizio in maniera più rigorosa ti tornerà utile.
e in questo caso f(u) e f(v) cosa sono?
f(x,y)+f(x',y')?
si grazie proverò più tardi adesso sto facendo esercizi con matrici ^_^
f(x,y)+f(x',y')?
si grazie proverò più tardi adesso sto facendo esercizi con matrici ^_^
$(x,y)$ e $(x',y')$ sono dei generici vettori appartenenti al dominio $RR^2$ verificare che l'applicazione p lineare significa verificare che $f(x,y)+f(x',y')=f(x+x',y+y')$ cioè che la funzione applicata alla somma dei due vettori $f(u+v)$ e la somma delle immagini dei vettori secondo quell'applicazione $f(u)+f(v)$ restituiscono lo stesso risultato
il dominio $RR2$ ha dimensione 2 per questo $f(u)$ è espresso da due numeri $(x,y)$; se avessi avuto dominio $RR3$ avresti espresso il generico vettore come $(x,y,z)$ ecc.
il dominio $RR2$ ha dimensione 2 per questo $f(u)$ è espresso da due numeri $(x,y)$; se avessi avuto dominio $RR3$ avresti espresso il generico vettore come $(x,y,z)$ ecc.
Parlo del tuo esempio... deve esser qualcosa di non chiaro xkè x me la cosa nn ha senso...cioè ho ragionato così
devo verificare che λf(x+y,y)=(λx+λy,λy) parto dal secondo membro per verificare se corrisponde al primo
pongo x'=x+y e y'=y
(λx+λy,λy)=f(λx',λy')=λf(x',y')=λf(x+y,y)
devo verificare che f(x+y,y)=f(x+y)+f(y) parto dal secondo membro per verificare se corrisponde al primo
pongo x'=x+y e y'=y
f(x+y)+f(y)=f(x')+f(y')=f(x'+y')=f((x+y)+(y))=f(x+y,y)
se provo a fare il tuo esercizio
λf(x,y)=(λx+λy,λy+1λ) verifico partendo dal secondo membro e pongo x'=x+y e y'=y+1
(λx+λy,λy+1λ)=(λx',λy')=λf(x',y')=λf(x+y,y+1)
il che mi risulta lineare...deduco di sbagliare qualcosa...
Hai capito qualcosa ? XD
devo verificare che λf(x+y,y)=(λx+λy,λy) parto dal secondo membro per verificare se corrisponde al primo
pongo x'=x+y e y'=y
(λx+λy,λy)=f(λx',λy')=λf(x',y')=λf(x+y,y)
devo verificare che f(x+y,y)=f(x+y)+f(y) parto dal secondo membro per verificare se corrisponde al primo
pongo x'=x+y e y'=y
f(x+y)+f(y)=f(x')+f(y')=f(x'+y')=f((x+y)+(y))=f(x+y,y)
se provo a fare il tuo esercizio
f(x,y)=(x+y,y+1)
λf(x,y)=(λx+λy,λy+1λ) verifico partendo dal secondo membro e pongo x'=x+y e y'=y+1
(λx+λy,λy+1λ)=(λx',λy')=λf(x',y')=λf(x+y,y+1)
il che mi risulta lineare...deduco di sbagliare qualcosa...
Hai capito qualcosa ? XD
tu devi verificare che $f(u)+f(v)=f(u+v)$
Quindi se $f(x,y)=(x+y,y+1)$ hai $f(x,y)+f(x',y')=(x+y,y+1)+(x'+y',y'+1)=(x+y+x'+y',y+y'+2)$. Se invece calcolassimo $f(x+x',y+y')=(x+x'+y+y',y+y'+1)$. Che sono diverse, quindi $f$ non è lineare.
Quindi se $f(x,y)=(x+y,y+1)$ hai $f(x,y)+f(x',y')=(x+y,y+1)+(x'+y',y'+1)=(x+y+x'+y',y+y'+2)$. Se invece calcolassimo $f(x+x',y+y')=(x+x'+y+y',y+y'+1)$. Che sono diverse, quindi $f$ non è lineare.
quindi siccome ci si trova in R^2 f(u)=f(x,y) e f(v)=f(x',y') da cui poi (x+y,y+1)+(x+y,y+1)
se fossimo in R^3
f(x,y,z)=(x+y,y+z,z+1)
f(u)=f(x,y,z) e f(v)=f(x',y',z') e f(w)=f(x'',y'',z'') da cui poi
(x+y,y+z,z+1)+(x'+y',y'+z',z'+1)+(x''+y'',y''+z'',z''+1)=(x+y+x'+y'+x''+y'',y+z+y'+z'+y''+z'',z+z'+z''+3)=....
?? sarebbe così??
se fossimo in R^3
f(x,y,z)=(x+y,y+z,z+1)
f(u)=f(x,y,z) e f(v)=f(x',y',z') e f(w)=f(x'',y'',z'') da cui poi
(x+y,y+z,z+1)+(x'+y',y'+z',z'+1)+(x''+y'',y''+z'',z''+1)=(x+y+x'+y'+x''+y'',y+z+y'+z'+y''+z'',z+z'+z''+3)=....
?? sarebbe così??
Beh hai definito una nuova applicazione da $RR^3$ che è diversa dalla mia, la mia è definita su $RR^2$ in $RR^2$, stop, l'esercizio si conclude lì. Inoltre nella tua dimostrazione prendi $3$ vettori il che hai nostri fini non serve...
Non è che in dimensione $3$ hai bisogno di $3$ vettori per dimostrare la linearità, o che in dimensione $n$ hai bisogno di $n$ vettori... Ne bastano sempre e solo due.
Non è che in dimensione $3$ hai bisogno di $3$ vettori per dimostrare la linearità, o che in dimensione $n$ hai bisogno di $n$ vettori...
Ne bastano sempre e solo due.
quindi detto in maniera altamente brutale XD dato
f(x,y,z)=(x+y,y+z,z+1)
f(u)=f(x,y,z) e f(v)=f(x',y',z')
(x+y,y+z,z+1)+(x'+y',y'+z',z'+1)=(x+y+x'+y',y+z+y'+z',z+z'+2) che non è lineare e vabbuon
tornando all'esempio lineare
f(x,y)=(x+y,y)
f(u)=(x+y,y) e f(v)=(x'+y',y') ==> f(u)+f(v)=f(u+v)
(x+y,y)+(x'+y',y')=(x+y+x'+y',y+y')=come fa ad esser uguale a f(x+x',y+y')?? non riesco a vedere come si fa sto passo
cioè all'improvviso x+y+x'+y'=x e y+y'=y ????
O_o :\ :/
f(x,y,z)=(x+y,y+z,z+1)
f(u)=f(x,y,z) e f(v)=f(x',y',z')
(x+y,y+z,z+1)+(x'+y',y'+z',z'+1)=(x+y+x'+y',y+z+y'+z',z+z'+2) che non è lineare e vabbuon
tornando all'esempio lineare
Verifichiamo se è lineare: f(x,y)+f(x',y')=(x+y,y)+(x'+y',y')=(x+y+x'+y',y+y')=f(x+x',y+y');
f(x,y)=(x+y,y)
f(u)=(x+y,y) e f(v)=(x'+y',y') ==> f(u)+f(v)=f(u+v)
(x+y,y)+(x'+y',y')=(x+y+x'+y',y+y')=come fa ad esser uguale a f(x+x',y+y')?? non riesco a vedere come si fa sto passo
cioè all'improvviso x+y+x'+y'=x e y+y'=y ????
O_o :\ :/
Nella prima parte non hai dimostrato che non è lineare, hai solo provato che $f(u)+f(v)=(x+y+x'+y',y+z+y'+z',z+z'+2)$ e questo non ci dice nulla, se non che l'immagine di quel vettore è quella. A noi interessa far vedere che è diversa da $f(u+v)$.
La nostra applicazione, passo al secondo esempio, opera in questo modo $f(x,y)=(x+y,y)$. Vuol dire in soldoni che tutto ciò che compare nella prima "posizione" del vettore, va sommato a tutto ciò che compare nella seconda "posizione" del vettore e posto nella prima "posizione" del vettore immagine, mentre pone tutto ciò che sta nella seconda "posizione" inalterato nella seconda "posizione" del vettore immagine (bada bene che è una terminologia atta solo a farmi/ti comprendere meglio
)
Quindi $f(x_1,y_1)=(x_1+y_1,y_1)$; alla stessa maniera $f(x+y,u)=(x+y+u,u)$. Le lettere indicano delle quantità, che poi siano 3,4,...,n non è un problema.
Ecco la motivazione del passaggio che non riuscivi a capire sopra!
La nostra applicazione, passo al secondo esempio, opera in questo modo $f(x,y)=(x+y,y)$. Vuol dire in soldoni che tutto ciò che compare nella prima "posizione" del vettore, va sommato a tutto ciò che compare nella seconda "posizione" del vettore e posto nella prima "posizione" del vettore immagine, mentre pone tutto ciò che sta nella seconda "posizione" inalterato nella seconda "posizione" del vettore immagine (bada bene che è una terminologia atta solo a farmi/ti comprendere meglio
)Quindi $f(x_1,y_1)=(x_1+y_1,y_1)$; alla stessa maniera $f(x+y,u)=(x+y+u,u)$. Le lettere indicano delle quantità, che poi siano 3,4,...,n non è un problema.
Ecco la motivazione del passaggio che non riuscivi a capire sopra!
(x+y,y)+(x'+y',y')=(x+y+x'+y',y+y')
quindi
x+y+x'+y' che è in posizione 1 equivale alla somma degli elementi in prima posizione di f(x,y)+f(x',y') mentre
y+y' equivale alla somma degli elementi di f(x,y)+f(x',y') in seconda posizione?
quindi
x+y+x'+y' che è in posizione 1 equivale alla somma degli elementi in prima posizione di f(x,y)+f(x',y') mentre
y+y' equivale alla somma degli elementi di f(x,y)+f(x',y') in seconda posizione?
Sì, diciamo di sì!
ok più chiaro di prima ^_^
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