Algebra di Lie gruppo simplettico
Come si trova l'algebra di Lie del gruppo simplettico?
Una generica $a$ appartenente a sp dovrebbe soddisfare
$$e^{-a^t J a J} = e^I$$
da cui $$a^t J a J=0$$
Da questa equazione però non sono riuscito a derivare le proprietà delle matrici hamiltoniane, ovvero che deve essere a divisa in blocchi, col secondo e terzo quadrante simmetrici e il quarto deve essere l'opposto del trasposto del primo...
Una generica $a$ appartenente a sp dovrebbe soddisfare
$$e^{-a^t J a J} = e^I$$
da cui $$a^t J a J=0$$
Da questa equazione però non sono riuscito a derivare le proprietà delle matrici hamiltoniane, ovvero che deve essere a divisa in blocchi, col secondo e terzo quadrante simmetrici e il quarto deve essere l'opposto del trasposto del primo...
Risposte
Puoi riportare i passaggi? Perché a me la condizione viene
$J a^t J = a$.
$J a^t J = a$.
Una matrice appartiene al gruppo simpletico if and only if
$$A^t J A = J$$
Per trovare l'algebra, tengo conto che in un intorno di $0\in T_{0\in sp(n)}$ posso scrivere
$$A = e^a$$
Quindi
$$e^{a^t} J e^a = J$$
Posso moltiplicare per $J^{-1}$ a destra in entrambi i membri. Ma $J^{-1} = - J$, come si vede facendo il conto. Ottengo così
$$-e^{a^t} J e^a J = e^{-a^t J a J} = e^0$$
Da cui trovo la seguente relazione per a
$$-a^t J a J=0$$
$$A^t J A = J$$
Per trovare l'algebra, tengo conto che in un intorno di $0\in T_{0\in sp(n)}$ posso scrivere
$$A = e^a$$
Quindi
$$e^{a^t} J e^a = J$$
Posso moltiplicare per $J^{-1}$ a destra in entrambi i membri. Ma $J^{-1} = - J$, come si vede facendo il conto. Ottengo così
$$-e^{a^t} J e^a J = e^{-a^t J a J} = e^0$$
Da cui trovo la seguente relazione per a
$$-a^t J a J=0$$
"newton1372":Questo è falso, l'esponenziale non si comporta così.
$-e^{a^t} J e^a J = e^{-a^t J a J}$
Ti conviene riscrivere la relazione $A^T J A = J$ come $J^(-1) A^T J = A^(-1)$. In questo modo hai $A$ da ambo le parti e i conti vengono più facili.
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