Algebra di lie di un gruppo di lie
Salve ragazzi, vi posto il testo su cui sto studiando e ho diversi dubbi:
Come si potrebbe dimostrare il punto 3) non essendo F un omomorfismo di gruppi? In base semplicemente alla definizione data 2 righe sopra?
Come si potrebbe dimostrare il punto 3) non essendo F un omomorfismo di gruppi? In base semplicemente alla definizione data 2 righe sopra?
Risposte
Per dimostrare 3 non ti serve che $F$ sia un omomorfismo di gruppi; la tesi corrisponde a mostrare che è un omomorfismo di algebre di Lie. La dimostrazione mi sembra fatta nel testo, cosa non capisci?
Cioè il l'insieme di tutti i campi vettoriali è un'algebra di lie. Se F è un diffeomorfismo (quindi omeomorfismo differenziabile con inversa differenziabile) possiamo ricavare qualcosa su F_* X ?
La corrispondenza che manda $F : G\to G$ in $F_*$, definita tra i suoi spazi tangenti, è evidentemente funtoriale (resta da stabilire con che codominio), e questo ti dice che $F_*$ è un isomorfismo perché lo era $F$.
Ti resta da vedere che $F_*$ commuta con le parentesi di Lie, credo siano solo dei conti con la definizione dat aappena sopra.
Ti resta da vedere che $F_*$ commuta con le parentesi di Lie, credo siano solo dei conti con la definizione dat aappena sopra.
Ma non abbiamo studiato i funtori (questo è un corso di geometria II per fisici)
Significa semplicemente che $(F\circ H)_* = F_* \circ H_*$ e che $(id_G)* = id_{TG}$. Questo implica che se $F$ è un isomorfismo, tale è anche $F_*$.
Si ho capito grazie
Voglio ancora chiederti una cosa perchè non mi è chiaro ciò
Il differenziale l’abbiamo definito così
Il prodotto di campi vettoriali così:
Io sto cercando di dimostrarlo così
Ha senso?
Il differenziale l’abbiamo definito così
Il prodotto di campi vettoriali così:
Io sto cercando di dimostrarlo così
Ha senso?
Cosa stai cercando di dimostrare?
Il punto 3 presente sul primo foglio con quello che ho studiato dal testo riportato
Anzitutto c'è un refuso, $Z$ non esiste, deve essere una $Y$. Poi. Basta usare che $X,Y$ sono derivazioni, sull'espressione
\[
[fX,gY](z) = fX(g.Y(z)) - g.Y(fX(z)) = f.X(g)Y(z)+fg.X(Y(z)) - \dots
\] (se metto un punto, sto usando la struttura di $C^\infty(M)$-modulo di $\mathfrak X(M)$; se metto le parentesi, sto usando il fatto che $\mathfrak X(M)\cong \text{Der}(M)$ è lo spazio delle derivazioni $TM\to RR$.
\[
[fX,gY](z) = fX(g.Y(z)) - g.Y(fX(z)) = f.X(g)Y(z)+fg.X(Y(z)) - \dots
\] (se metto un punto, sto usando la struttura di $C^\infty(M)$-modulo di $\mathfrak X(M)$; se metto le parentesi, sto usando il fatto che $\mathfrak X(M)\cong \text{Der}(M)$ è lo spazio delle derivazioni $TM\to RR$.
Grazie. Mi riferivo al punto 3 del primo foglio del primo post
Non è che fosse chiarissimo cosa volessi... 
ma TeXare una domanda completa fin dall'inizio era troppa fatica?
ma TeXare una domanda completa fin dall'inizio era troppa fatica?
Si hai ragione
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