Algebra
Ciao, ho qualche problemino nei seguenti esercizi
Calcolare autovalori ed autovettori della matrice $A=(1,2,3),(0,2,-1),(0,0,3)$ (nn so fare la matrice con questo linguaggio) cmq la prima parentesi e la prima riga, la seconda la seconda e la terza la terza...
2)Dedurre una base ortonormale dagli autovettori
3) i vettori della base ortonormale sono autovettori di A??
gli autovalori che ho ottenuto sono $lambda_1=1,lambda_2=2,lambda_3=3$ e e possibile che il l autovettore di $lambda_1$ sia il vettore nullo?
e poi al punto tre come faccio a rispondere?
2)si v appartenente a $RR^2$ il vettore ottenuto da una rotazione del vettore u appartenente a $RR^2$ di un angolo $gamma!=o$ nel piano xy seguita da una riflessione rispetto all asse x. Posto $u=Tv$ si calcoli T. Eseguire l operazione in ordine inverso (prima riflessione poi rotazione) e calcolare W associata. E possibile che sia W=T? nn so come fare...
grazie ciao!
Calcolare autovalori ed autovettori della matrice $A=(1,2,3),(0,2,-1),(0,0,3)$ (nn so fare la matrice con questo linguaggio) cmq la prima parentesi e la prima riga, la seconda la seconda e la terza la terza...
2)Dedurre una base ortonormale dagli autovettori
3) i vettori della base ortonormale sono autovettori di A??
gli autovalori che ho ottenuto sono $lambda_1=1,lambda_2=2,lambda_3=3$ e e possibile che il l autovettore di $lambda_1$ sia il vettore nullo?
e poi al punto tre come faccio a rispondere?
2)si v appartenente a $RR^2$ il vettore ottenuto da una rotazione del vettore u appartenente a $RR^2$ di un angolo $gamma!=o$ nel piano xy seguita da una riflessione rispetto all asse x. Posto $u=Tv$ si calcoli T. Eseguire l operazione in ordine inverso (prima riflessione poi rotazione) e calcolare W associata. E possibile che sia W=T? nn so come fare...
grazie ciao!
Risposte
"richard84":
gli autovalori che ho ottenuto sono $lambda_1=1,lambda_2=2,lambda_3=3$ e e possibile che il l autovettore di $lambda_1$ sia il vettore nullo?
gli autovalori sono ok, mentre la risposta alla domanda è no, non è possibile, infatti un autovalore corrispondente a $lambda_1=1$ è del tipo $((k), (0) , (0))$, con $k!=0$
"richard84":
e poi al punto tre come faccio a rispondere?
Sinceramente non mi viene in mente nient'altro che costruire la matrice 3x3 con colonne gli autovettori e imporre che la matrice sia ortogonale, ma mi sa che è una cavolata, tutt'al più una perdita di tempo, c'è sicuramente un metodo più agevole, ma al momento non me lo ricordo...
"amel":[/quote]grazie per la risp facendo il sistema mi vengono x,y,z uguali a zero...e sbagliato?
[quote="richard84"]...infatti un autovalore corrispondente a $lambda_1=1$ è del tipo $((k), (0) , (0))$, con $k!=0$
controlla bene... dobbiamo avere la stessa struttura mentale... all'inizio mi era venuto anche a me così: avevo fatto male il calcolo matrice per colonna
sistema mi viene:
$-y+2z=0,
y-z=0,
2z=0$
$-y+2z=0,
y-z=0,
2z=0$
al di là del calcolo preciso, appunto anche dal tuo calcolo non c'è la x: perchè deve essere 0? 
e nn lo so...perche sottraendo l autovalore viene 0...perche dovrei mettere k?
perchè su x puoi scegliere ciò che vuoi (non ci sono condizioni), puoi anche scegliere 0, ma il vettore nullo non è certo l'autovettore più rappresentativo dell'autospazio, per cui sceglierai per x un valore diverso da 0, no?
ok grazie....l esercizio 2 invece sai come si potrebbe fare? io ho capito come fare le due matrici associate alla riflessione e alla rotazione ma nn capisco che significa calcolare T posto $u=Tv$...che cos e T?la riflessione?
A giudicare dal testo, T è la composizione di una rotazione e di una riflessione... 
e com e fatta la matrice?
(anke a voi va lento il forum?)
(anke a voi va lento il forum?)
Detta brutalmente, se non sbaglio, sarà una cosa del tipo:
$((cos gamma, -sin gamma),(sin gamma, cos gamma)) ((1, 0),(0, -1))= ((cos gamma, sin gamma),(sin gamma, -cos gamma))$
Controlla se ti torna...
Anche va a me spesso va lento il forum...
$((cos gamma, -sin gamma),(sin gamma, cos gamma)) ((1, 0),(0, -1))= ((cos gamma, sin gamma),(sin gamma, -cos gamma))$
Controlla se ti torna...
Anche va a me spesso va lento il forum...
si anche a me viene cosi...quindi per trovare la matrice finale devo fare il prodotto delle due?
in sostanza sì, anche se non è proprio un suggerimento formale, ma nella pratica si può fare così... (anche perchè dovresti dire anche: prendo la base canonica di $RR^2$, voglio trovare la matrice dell'applicazione lineare tal dei tali ecc ecc ecc)
e poi W sarebbe $((1, 0),(0, -1))((cos gamma, -sin gamma),(sin gamma, cos gamma))=((cos gamma, -sin gamma),(-sin gamma, -cos gamma))$??
..
perche cambi la matrice rotazione?
sì scusa buonanotte, chissà perchè ero convinto che dovevi trovare l'inversa...
e invece $|AB|=|A||B|$ nel caso in cui A eB sono triangolari come si dimostra?
Se A e B sono triangolari superiori (risp. inferiori), AB è triangolare superiore (risp. inferiore).
Anzitutto si osserva che il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla sua diagonale.
Essendo $A=(a_(ij))$ e $B=(b_(ij))$, sulla diagonale di AB vi stanno elementi del tipo $a_(ii) b_(ii)$.
Così, $det(AB)=a_(11)b_(11)......a_(n n)b_(n n)$.
Essendo $det(A)=a_(11)......a_(n n)$ e $det(B)=b_(11)......b_(n n)$, segue l'asserto.
Anzitutto si osserva che il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla sua diagonale.
Essendo $A=(a_(ij))$ e $B=(b_(ij))$, sulla diagonale di AB vi stanno elementi del tipo $a_(ii) b_(ii)$.
Così, $det(AB)=a_(11)b_(11)......a_(n n)b_(n n)$.
Essendo $det(A)=a_(11)......a_(n n)$ e $det(B)=b_(11)......b_(n n)$, segue l'asserto.
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