Algebra
$S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.S è libero.
2.S è legato.
3. $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
4.Ogni vettore di S è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Bisogna vedere quali di questi punti sono esatti....
Il sistema è legato perchè
$a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)+d(1,1,1)=(0,0,0)$
$(a,-a,a)+(0,b,0)+(0,c,c)+(d,d,d)=(0,0,0)$
${(a+d=0),(-a+b+c+d=0),(a+c+d=0):}$
${(a=-d),(b=-2d),(c=0):}$
quindi il punto 2 è esatto.
Punto 3:
$(1,1,1)=a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)$
$(1,1,1)=(a,-a,a)+(0,b,0)+(0,c,c)$
Mettendo a sistema ottengo:
${(a=1),(b=2),(c=0):}$
quindi poichè il sistema ammette soluzioni il vettore $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Punto 4:
Verifico se gli altri vettori di $S$ sono combinazione lineare dei rimanenti vettori di $S$.
Per il vettore $(1,-1,1)$:
$(1,-1,1)=(0,a,0)+(0,b,b)+(c,c,c)$
${(a=-2),(b=0),(c=1):}$
il sistema ammette soluzioni quindi è combinazione lineare dei rimanenti vettori di $S$.
Per il vettore $(0,1,0)$:
${(a=-1/2),(b=0),(c=1/2):}$
Per il vettore $(0,1,1)$:
il sistema non ammette soluzioni infatti mi viene una cosa del genere
${(a=-c),(c=(1-b)/2):}$
Potete confermarmi se ho fatto bene??grazie!
1.S è libero.
2.S è legato.
3. $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
4.Ogni vettore di S è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Bisogna vedere quali di questi punti sono esatti....
Il sistema è legato perchè
$a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)+d(1,1,1)=(0,0,0)$
$(a,-a,a)+(0,b,0)+(0,c,c)+(d,d,d)=(0,0,0)$
${(a+d=0),(-a+b+c+d=0),(a+c+d=0):}$
${(a=-d),(b=-2d),(c=0):}$
quindi il punto 2 è esatto.
Punto 3:
$(1,1,1)=a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)$
$(1,1,1)=(a,-a,a)+(0,b,0)+(0,c,c)$
Mettendo a sistema ottengo:
${(a=1),(b=2),(c=0):}$
quindi poichè il sistema ammette soluzioni il vettore $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Punto 4:
Verifico se gli altri vettori di $S$ sono combinazione lineare dei rimanenti vettori di $S$.
Per il vettore $(1,-1,1)$:
$(1,-1,1)=(0,a,0)+(0,b,b)+(c,c,c)$
${(a=-2),(b=0),(c=1):}$
il sistema ammette soluzioni quindi è combinazione lineare dei rimanenti vettori di $S$.
Per il vettore $(0,1,0)$:
${(a=-1/2),(b=0),(c=1/2):}$
Per il vettore $(0,1,1)$:
il sistema non ammette soluzioni infatti mi viene una cosa del genere
${(a=-c),(c=(1-b)/2):}$
Potete confermarmi se ho fatto bene??grazie!
Risposte
"Aristotele":
Punto 4:
Verifico se gli altri vettori di $S$ sono combinazione lineare dei rimanenti vettori di $S$.
Per il vettore $(1,-1,1)$:
$(1,-1,1)=(0,a,0)+(0,b,b)+(c,c,c)$
${(a=-2),(b=0),(c=1):}$
il sistema ammette soluzioni quindi è combinazione lineare dei rimanenti vettori di $S$.
Per il vettore $(0,1,0)$:
${(a=-1/2),(b=0),(c=1/2):}$
Per il vettore $(0,1,1)$:
il sistema non ammette soluzioni infatti mi viene una cosa del genere
${(a=-c),(c=(1-b)/2):}$
Scusate ho dimenticato di scrivere che il punto 4 è errato poichè il sistema dell'ultimo vettore $(0,1,1)$ non ammette soluzioni!
Potete dirmi dove ho sbagliato per cortesia?
Per il Punto 3:
$(1,1,1)=a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)$
$(1,1,1)=(a,-a,a)+(0,b,0)+(0,c,c)$
Mettendo a sistema ottengo:
${(a=1),(b=2),(c=0):}$
quindi poichè il sistema ammette soluzioni il vettore $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Perchè ha valori finiti assegnabili a questa espressione:
$(1,1,1)=a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)$
Giusto?
$(1,1,1)=a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)$
$(1,1,1)=(a,-a,a)+(0,b,0)+(0,c,c)$
Mettendo a sistema ottengo:
${(a=1),(b=2),(c=0):}$
quindi poichè il sistema ammette soluzioni il vettore $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Perchè ha valori finiti assegnabili a questa espressione:
$(1,1,1)=a(1,-1,1)+b(0,1,0)+c(0,1,1)$
Giusto?
Ragazzi scusate ancora ma l'esercizio continuava e c'era anche questo:
Sia $S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.$S$ genera $R^3$
2.$S$ è una base di $R^3$
3.$S$ contiene una base di $R^3$
4.$S$ è incluso in una base di $R^3$
Io cmq ho trovato che i primi due punti sono sbagliati....quindi per me 3 e 4 sono giusti....
Sia $S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.$S$ genera $R^3$
2.$S$ è una base di $R^3$
3.$S$ contiene una base di $R^3$
4.$S$ è incluso in una base di $R^3$
Io cmq ho trovato che i primi due punti sono sbagliati....quindi per me 3 e 4 sono giusti....
Pensaci, se la 3 è giusta, puoi concludere che la 1 è sbagliata?
"Aristotele":
Ragazzi scusate ancora ma l'esercizio continuava e c'era anche questo:
Sia $S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.$S$ genera $R^3$
2.$S$ è una base di $R^3$
3.$S$ contiene una base di $R^3$
4.$S$ è incluso in una base di $R^3$
Io cmq ho trovato che i primi due punti sono sbagliati....quindi per me 3 e 4 sono giusti....
$S$ non può essere una base di $\mathbb{R}^3$, in quanto $S$ ha cardinalità $4$, mentre ogni base di $\mathbb{R}^3$ha cardinalità $3$, per questo motivo anche il punto 4 è sbagliato, al più può essere una base di $\mathbb{R}^3$ ad essere inclusa in $S$.
Il punto 1. e il punto 3. vogliono dire la stessa cosa e sono entrambi veri: i vettori di $S$ generano $\mathbb{R}^3$, per questo motivo $S$ contiene una base di $\mathbb{R}^3$.
EDIT: non avevo visto la tua risposta amel.
No problem, anche perchè io non avevo risposto a tutte le domande... 
"Tipper":
[quote="Aristotele"]Ragazzi scusate ancora ma l'esercizio continuava e c'era anche questo:
Sia $S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.$S$ genera $R^3$
2.$S$ è una base di $R^3$
3.$S$ contiene una base di $R^3$
4.$S$ è incluso in una base di $R^3$
Io cmq ho trovato che i primi due punti sono sbagliati....quindi per me 3 e 4 sono giusti....
$S$ non può essere una base di $\mathbb{R}^3$, in quanto $S$ ha cardinalità $4$, mentre ogni base di $\mathbb{R}^3$ha cardinalità $3$, per questo motivo anche il punto 4 è sbagliato, al più può essere una base di $\mathbb{R}^3$ ad essere inclusa in $S$.
Il punto 1. e il punto 3. vogliono dire la stessa cosa e sono entrambi veri: i vettori di $S$ generano $\mathbb{R}^3$, per questo motivo $S$ contiene una base di $\mathbb{R}^3$.
EDIT: non avevo visto la tua risposta amel.[/quote]
Ragazzi perdonatemi nel punto 4 $S$ non può mai essere incluso in base di $R^3$ poichè come ha detto giustamente Tipper ha cardinalità minore rispetto a $RR^$ scusate ma ho sbagliato io a fare l'esercizio su carta e penna tanto è vero
che nel punto 4 e 3 avevo scritto $RR^4$scusate ancora ho fatto una domanda molto stupida....
Cosa mi dite della prima parte dell'esercizio è fatta bene?
"Aristotele":
$S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.S è libero.
2.S è legato.
3. $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
4.Ogni vettore di S è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Bisogna vedere quali di questi punti sono esatti....
Il punto 3. è esatto, perché $S \setminus \{(1,1,1)\}$ è una base di $\mathbb{R}^3$.
Il punto 4. non è esatto, infatti $S \setminus \{(0,1,1)\}$ non è una base di $\mathbb{R}^3$.
Ammetto la mia ignoranza, non so che significa $S$ è legato/libero...
Forse legato vuol dire che quel sistema ammette soluzioni non tutte nulle?
Copia incolla da una paina trovata googlando:
http://www.dimat.unina2.it/mazzocca/algebra1/capit3.htm
http://www.dimat.unina2.it/mazzocca/algebra1/capit3.htm
Un insieme X di vettori di V si dice libero se ogni suo sottoinsieme finito risulta linearmente indipendente; nel caso contrario si dice legato. Un sottoinsieme B di vettori di V si chiama base di V se é libero e massimale rispetto a questa proprietá.
Quindi, se ho capito bene, un insieme libero è un insieme di vettori linearmente indipendenti.
"Tipper":
Quindi, se ho capito bene, un insieme libero è un insieme di vettori linearmente indipendenti.
Se ho capito bene allora $S$ è legato.
"Tipper":
[quote="Aristotele"]$S={(1,-1,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1)}$
1.S è libero.
2.S è legato.
3. $(1,1,1)$ è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
4.Ogni vettore di S è combinazione lineare dei rimanenti vettori di S.
Bisogna vedere quali di questi punti sono esatti....
Il punto 3. è esatto, perché $S \setminus \{(1,1,1)\}$ è una base di $\mathbb{R}^3$.
Il punto 4. non è esatto, infatti $S \setminus \{(0,1,1)\}$ non è una base di $\mathbb{R}^3$.
Ammetto la mia ignoranza, non so che significa $S$ è legato/libero...[/quote]
Ok!mi trovo perfettamente con te abbiamo fatto lo stesso ragionamento....Cmq nel caso ti può interessare:
Un sistema si dice legato se e solo se i suoi vettori sono linearmente dipendenti.Mentre un sistema si dice libero se i suoi vettori sono linearmente indipendenti.
Io credo che la tua non sia ignoranza anzi altro che....il fatto è che forse su alcuni testi i due termini "legato" e "libero"
non vengono esplicitati magari gli autori scrivono direttamente che il sistema è dipendente oppure indipendente.....
Ti ringrazio!e credo di essere io ad avere molto da imparare!
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