Algebra...
Scusate mi saprestedire come risolvere questo...
In pratica dovrei verificare le propetà simmetrica, rifessiva e transitiva. Ma come??
In pratica dovrei verificare le propetà simmetrica, rifessiva e transitiva. Ma come??
Risposte
La proprietà riflessiva è piuttosto immediata:
x R x vuol dire $(x2 - x2) = (x - x)$ cioè 0 = 0
SIMMETRICA
$(x2 - y2) = (x - y)$
$(x + y)(x - y) = (x - y)$ scomponendo
$(x + y) = 1$ semplificando
$(y + x) = 1$ per commutatività della somma
$(y - x)(y + x) = (y - x)$ moltiplicando a sinistra
$(y2 - x2) = (x - y)$ che è la tesi
TRANSITIVA
$(x2 - y2) = (x - y)$ e $(y2 - z2) = (y - z)$ dalla seconda $y2 = (z2 + y - z)$
sostituendo a y2 nella prima, hai $(x2 - z2) = (x - z)$
Quindi la relazione è di equivalenza.
x R x vuol dire $(x2 - x2) = (x - x)$ cioè 0 = 0
SIMMETRICA
$(x2 - y2) = (x - y)$
$(x + y)(x - y) = (x - y)$ scomponendo
$(x + y) = 1$ semplificando
$(y + x) = 1$ per commutatività della somma
$(y - x)(y + x) = (y - x)$ moltiplicando a sinistra
$(y2 - x2) = (x - y)$ che è la tesi
TRANSITIVA
$(x2 - y2) = (x - y)$ e $(y2 - z2) = (y - z)$ dalla seconda $y2 = (z2 + y - z)$
sostituendo a y2 nella prima, hai $(x2 - z2) = (x - z)$
Quindi la relazione è di equivalenza.
Correggo errore di battitura nell'ultimo passaggio della proprieta simmetrica:
$(y2 - x2) = (y - x)$
$(y2 - x2) = (y - x)$
ciao, grazie per la risposta...
eccone un altro:
Scusate ma quella relazione non è riflessiva? Infatti qualunque coppia (a,a) con a>=5 soddisfa a+a>=10. E poi per dmostrare la proprietà simmetrica dovrebbe essere banale perchè dalla relazione x+y>=10 si deduce y+x>=10. E giusto oppure sto scrivendo assurdità??? In tal caso vi pregherei di corregermi. Grazie...
eccone un altro:
Scusate ma quella relazione non è riflessiva? Infatti qualunque coppia (a,a) con a>=5 soddisfa a+a>=10. E poi per dmostrare la proprietà simmetrica dovrebbe essere banale perchè dalla relazione x+y>=10 si deduce y+x>=10. E giusto oppure sto scrivendo assurdità??? In tal caso vi pregherei di corregermi. Grazie...
Ciao....
non è TRANSITIVA perchè:
$x+y>=10$; $y+z>=10$; non è detto che $x+z>=10$
infatti se ad esempio:
$x=8$; $y=10$; $z=1$ si avrà.....$x+y>=10$ vale perchè $8+10>10$; $y+z>=10$ vale perchè $10+1>10$; mentre $x+z>=10$ non vale perchè $8+1<10$
non è RIFLESSIVA perchè:
deve sempre valere x p x, per valori di x>=5 vale, ma per valori inferiori no.
è SIMMETRICA, perchè come tu hai giustamente detto, vale la proprietà commutativa dell'addizione, ossia è palese che $x+y>=10$ equivale a $y+x>=10$
Alexp
non è TRANSITIVA perchè:
$x+y>=10$; $y+z>=10$; non è detto che $x+z>=10$
infatti se ad esempio:
$x=8$; $y=10$; $z=1$ si avrà.....$x+y>=10$ vale perchè $8+10>10$; $y+z>=10$ vale perchè $10+1>10$; mentre $x+z>=10$ non vale perchè $8+1<10$
non è RIFLESSIVA perchè:
deve sempre valere x p x, per valori di x>=5 vale, ma per valori inferiori no.
è SIMMETRICA, perchè come tu hai giustamente detto, vale la proprietà commutativa dell'addizione, ossia è palese che $x+y>=10$ equivale a $y+x>=10$
Alexp
Adesso ho questo:
"Dimostrare che una relazione R definita in un insieme X che è simmetrica e antisimmetrica è anche transitiva. "
Allora ho provato a ragionare un po sulla matrice di incidenza di R (M) e considerando che:
1 - proprietà simmetrica: M=M' (M' = trasposta di M)
2- propeietà antisimmetrica: Mij * Mji =0 (Mij = elemento di posto ij di M)
A questo punto trovo un assurdo poichè prendendo una matrice M 3*3 mi risulta impossibile formarla con le proprietà 1 e 2. Infatti:
a b c
d e f
g h i
che per la proprietà 1 --> b=d c=g h=f mentre per la proprietà 2 --> b*d=0 c*g=0 h*f=0.
Qualcuno mi illumini...
"Dimostrare che una relazione R definita in un insieme X che è simmetrica e antisimmetrica è anche transitiva. "
Allora ho provato a ragionare un po sulla matrice di incidenza di R (M) e considerando che:
1 - proprietà simmetrica: M=M' (M' = trasposta di M)
2- propeietà antisimmetrica: Mij * Mji =0 (Mij = elemento di posto ij di M)
A questo punto trovo un assurdo poichè prendendo una matrice M 3*3 mi risulta impossibile formarla con le proprietà 1 e 2. Infatti:
a b c
d e f
g h i
che per la proprietà 1 --> b=d c=g h=f mentre per la proprietà 2 --> b*d=0 c*g=0 h*f=0.
Qualcuno mi illumini...
"Dimostrare che la relazione u su R (insieme dei reali) definita da x u r <--> [sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 =1 è una relazione di equivalenza."
Le proprietà riflessiva e transitiva sono banali, mentre non mi ritorna la proprietà simmetrica. Infatti deve essere:
[sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 =1 e [sin(y)]^2 + [cos(x)]^2 =1 --> [sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 = [sin(y)]^2 + [cos(x)]^2 e sviluippando i conti esce: [cos(x)]^2 - [cos(y)]^2 = 0. Cos'è che sbaglio???
Grazie a tutti...
Le proprietà riflessiva e transitiva sono banali, mentre non mi ritorna la proprietà simmetrica. Infatti deve essere:
[sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 =1 e [sin(y)]^2 + [cos(x)]^2 =1 --> [sin(x)]^2 + [cos(y)]^2 = [sin(y)]^2 + [cos(x)]^2 e sviluippando i conti esce: [cos(x)]^2 - [cos(y)]^2 = 0. Cos'è che sbaglio???
Grazie a tutti...
non ho guardato i tuoi conti, ma considera che siccome quell'espressione come è noto rappresenta una circonferenza con centro nell'origine, e siccome il piano reale lo puoi considerare come l'unione disgiunta (partizione) di circonferenze siffatte, allora necessariamente la relazione che determina questa partizione è di equivalenza (che poi son le coordinate polari)
per la proprietà simmetrica tu devi dimostrare che se x è in relazione con y allora y deve essere in relazione con x.
Parti da quello che devi dimostrare ovvero da $[sen(y)]^2+[cos(x)]^2=...$
puoi trasformare il primo seno in coseno e il secondo coseno in seno...
Parti da quello che devi dimostrare ovvero da $[sen(y)]^2+[cos(x)]^2=...$
puoi trasformare il primo seno in coseno e il secondo coseno in seno...
Si ok era un errore di calcolo. E per questo che mi dite?
"TheWiz@rd":
"Dimostrare che una relazione R definita in un insieme X che è simmetrica e antisimmetrica è anche transitiva. "
Allora ho provato a ragionare un po sulla matrice di incidenza di R (M) e considerando che:
1 - proprietà simmetrica: M=M' (M' = trasposta di M)
2- proprietà antisimmetrica: Mij * Mji =0 (Mij = elemento di posto ij di M)
A questo punto trovo un assurdo poichè prendendo una matrice M 3*3 mi risulta impossibile formarla con le proprietà 1 e 2. Infatti:
a b c
d e f
g h i
che per la proprietà 1 --> b=d c=g h=f mentre per la proprietà 2 --> b*d=0 c*g=0 h*f=0.
Qualcuno mi illumini...
dimostra per assurdo che è sicuramente più facile!
dimostra per assurdo che è sicuramente più facile!
e quindi?
nessuno???
"TheWiz@rd":
Adesso ho questo:
"Dimostrare che una relazione R definita in un insieme X che è simmetrica e antisimmetrica è anche transitiva. "
Scusate ma ho dei problemi. Ma la proprietà simmetrica non esclude quella antisimmetrica? Quindi penso sia impossible avere una relazione che goda di entrambe le proprietà...
a meno che non si intenda la relazione vuota...
Scusate ma ho dei problemi. Ma la proprietà simmetrica non esclude quella antisimmetrica? Quindi penso sia impossible avere una relazione che goda di entrambe le proprietà... a meno che non si intenda la relazione vuota...
E' possibile che una relazione R sia simmetrica e antisimmetrica, anche se non è vuota. Ti consiglio di pensare a quali caretteristiche deve avere R per essere sia simmetrica sia antisimmetrica, e vedrai che la transitività segue facilmente.
E' possibile che una relazione R sia simmetrica e antisimmetrica, anche se non è vuota. Ti consiglio di pensare a quali caretteristiche deve avere R per essere sia simmetrica sia antisimmetrica, e vedrai che la transitività segue facilmente.
OK, dovrebbe essere la relazione identica. Ma tale relazione ha ogni elemento di X ( $ R \subseteq XxX $) in relazione con se stesso e quindi oltre alla simmetrica e antisimmetrica (ovviamente anche transitiva) è anche rilessiva. Ma la traccia chiaramente afferma di trovare una relazione simmetrica e antisimmetrica. Sbaglio qualcosa??
Non vedo il problema che ti poni. La traccia ti dice di dimostrare che ogni relazione R simmetrica e antisimmetrica è transitiva. Siccome se R è simmetrica e antisimmetrica, allora R deve essere per forza l'identità, segue che R è transitiva. Punto.
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