ALGEBRA

[Tanuzzo861]

ragazzi vi prego dopodomani ho l'esame mi date una mano con questo esercizio?
U(x,y,z,t)/x+y+z+-t=0 e x-y+2t=0;
W=(1,1,0,0),(0,2,1,1,)(2,0-1,-1)

determinare una base di U+W e una di Uintersezione W
grazie ragazzi sto impazzendo.-(

[Camillo]

Provo a darti una risposta parziale veloce : occhio quindi a possibili errori e sviste, prendilo come una traccia .
Scrivo il generico vettore $ w in W $ come combinazione lineare , secondo i coefficienti reali $a, b, c in RR $ dei 3 generatori e ottengo :

$ w = ( a+2c,a+2b, b-c, b-c ) $.
Considero poi che :
$ w = ( x,y,z,t ) $ ; quindi $ ( a+2c,a+2b,b-c,b-c ) = (x,y,z,t ) $
Da questo ottengo il sistema che rappresenta un iperpiano in $ R^4$ in forma parametrica e quindi il sottospazio W in forma cartesiana .

$x = a+2c$
$y= a+2b$
$z=b-c$
$t=b-c$

Eliminando i parametri a, b,c si ottiene quindi la rappresentazione cartesiana del sottospazio W :

$x-y+2z = 0 $
$z-t = 0 $

Ora cerchiamo la rappresentazione del sottospazio U int W mettendo a sistema le equazioni di W e di V .
$x-y+2z = 0 $
$z-t = 0 $
$ x+y+z-t = 0 $ [spero sia la corretta interpretazione del testo ]
$ x-y+2t = 0 $

da cui :
$ z=t$
$x+y = 0 $
$ x-y+2z = 0 $

e quindi :
$ x = x; y = -x ; z= -x; t = -x $
il generico vettore $ in $( W int V ) sarà : $ ( x,-x,-x,-x ) $ e una base quindi :
$( 1,-1,-1,-1)$.

Camillo

[Tanuzzo861]

"camillo":Provo a darti una risposta parziale veloce : occhio quindi a possibili errori e sviste, prendilo come una traccia .
Scrivo il generico vettore $ w in W $ come combinazione lineare , secondo i coefficienti reali $a, b, c in RR $ dei 3 generatori e ottengo :

$ w = ( a+2c,a+2b, b-c, b-c ) $.
Considero poi che :
$ w = ( x,y,z,t ) $ ; quindi $ ( a+2c,a+2b,b-c,b-c ) = (x,y,z,t ) $
Da questo ottengo il sistema che rappresenta un iperpiano in $ R^4$ in forma parametrica e quindi il sottospazio W in forma cartesiana .

$x = a+2c$
$y= a+2b$
$z=b-c$
$t=b-c$

Eliminando i parametri a, b,c si ottiene quindi la rappresentazione cartesiana del sottospazio W :

$x-y+2z = 0 $
$z-t = 0 $

Ora cerchiamo la rappresentazione del sottospazio U int W mettendo a sistema le equazioni di W e di V .
$x-y+2z = 0 $
$z-t = 0 $
$ x+y+z-t = 0 $ [spero sia la corretta interpretazione del testo ]
$ x-y+2t = 0 $

da cui :
$ z=t$
$x+y = 0 $
$ x-y+2z = 0 $

e quindi :
$ x = x; y = -x ; z= -x; t = -x $
il generico vettore $ in $( W int V ) sarà : $ ( x,-x,-x,-x ) $ e una base quindi :
$( 1,-1,-1,-1)$.

Camillo

GRazie questoè per quanto riguarda l'intersezione, ma lo spazio somma come lo determino???????

[Sk_Anonymous]

Per calcolare una base di U+W si puo' usare il metodo del completamento della
base di U/\W.Ecco i passi da compiere.

a)Si calcola dim(U+W):
dim(U+W)=dimU+dimW -dim(U/\W)=2+2-1=3

b)Si calcolano una base di U (contenente la base di U/\W) ed una base di W
Nel nostro caso:
base U= (1,-1,-1,-1);(1,-3,0,-2)________base W=(1,1,0,0);(0,2,1,1)

c)Si scrive la matrice formata da queste due basi ,mettendo prima quella contenente
la base di U/\W:
$((1,-1,-1,-1),(1,-3,0,-2),(1,1,0,0),(0,2,1,1))$

d)Si individua un minore 3x3 [3=dim(U+W)] contenente le righe che formano la base
di U/\W e con determinante non nullo.Cio' fatto ,una base di U+W sara' quella i cui
vettori componenti stanno nelle righe di tale minore.
Nel caso attuale il minore e' quello formato dalle prime 3 righe e colonne e pertanto la base richesta e':
base (U+W)=(1,-1,-1,-1);(1,-3,0,-2);(1,1,0,0)

Archimede

[_Tipper]

Riguardo al punto b) del post precedente, come si fa a calcolare una base di U sapendo che una di queste è (1,-1,-1,-1)?
Io ho calcolato questa base di U (1,1,-2,0) (-2,0,3,1) ma non riesco a scrivere una base sapendo che un elemento che quello di U/\W

[_Tipper]

Riguardo al punto b) del post precedente, come si fa a calcolare una base di U sapendo che un elemento di questa è (1,-1,-1,-1)?
Io ho calcolato questa base di U (1,1,-2,0) (-2,0,3,1) ma non riesco a scrivere una base sapendo che un elemento è (1,-1,-1,-1)

[Sk_Anonymous]

Si parte dalle equazioni di U:x+y+z-t=0;x-y+2t=0
Ricavando x ed y si ha:
$x=(-z-t)/2;y=(-z+3t)/2$
Ponendo in queste ultime z=t=-1 si ha x=1 e y=-1 da cui (1,-1,-1,-1);
ponendo invece z=0 ,t=-2 si ha x=1 e y= -3 da cui (1,-3,0,-2)
Naturalmente si possono scegliere i due vettori che compongono la base in qualsiasi altro modo purche' ci si assicuri della loro indipendenza lineare.
Analogamente per W.
Archimede.

[_Tipper]

Se invece di porre z=0 e t=-2 ponevo z=1 e t=-3 ottenevo x=1 e y=-5 ottenendo la base (1,-1,-1,-1) (1,-5,1,-3), andava bene lo stesso?

[Sk_Anonymous]

Certamente! L'importante che almeno uno dei vettori componenti sia quello
che individua U/\W.
Archimede

[_Tipper]

Ok archimede grazie per la risposta
EUREKA!!!