Alg. lineare, spazi generati

[angus89]

La domanda è semplice...
Se ho lo spazio generato da $n$ vettori, è uguale allo spazio generato dalle loro combinazioni lineari?
Questa banalmente...se ho $n$ vettori che mi generano $n$ vettori liarmente indipendenti (ad esempio i canonici)...sono indipendenti quelli di partenza?
E se dovessi avere $n$ vettori che mi generano al massimo $k$ vettori indipendenti...posso affermare che tra questi $n$ vettori ce ne sono $k$ indipendenti?

[_Tipper]

"angus89":Se ho lo spazio generato da $n$ vettori, è uguale allo spazio generato dalle loro combinazioni lineari?

Sì, nel senso che lo spazio generato da $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ è lo span di $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$.

"angus89":Questa banalmente...se ho $n$ vettori che mi generano $n$ vettori liarmente indipendenti (ad esempio i canonici)...sono indipendenti quelli di partenza?
E se dovessi avere $n$ vettori che mi generano al massimo $k$ vettori indipendenti...posso affermare che tra questi $n$ vettori ce ne sono $k$ indipendenti?

Se hai $n$ vettori che generano uno spazio vettoriale da cui puoi estrarre $k$ vettori linearmente indipendenti ($k \le n$), allora puoi affermare che fra gli $n$ vettori di partenza ce n'erano (almeno) $k$ linearmente indipendenti. Detto in altri termini, il rango della matrice costruita con gli $n$ vettori iniziali sarà non minore di $k$ (e non maggiore di $n$).