[Alg. Lineare] Autovettori e Autovalori
Qualcuno mi può spiegare meglio autovettori e autovalori e darmi qualche esempio pratico??
Non sono sicuro di averli capiti del tutto...
Tnks
Non sono sicuro di averli capiti del tutto...
Tnks
Risposte
provo a darti io una definizione, ma prendila moolto leggera...
...tu hi una trasformazione $f$ e un vettore $a$, a questo punto appliche la trasformaizone ad $a$, e se il nuovo vettore sarà uguale a $lambdaa$, $(f(a)=lambdaa$ cioè il trasformato è proporzionale al vettore d partenza), $lambda$, sarà un'autovalore, e $a$ un'autovettore...
spero di essere stato utile...
...tu hi una trasformazione $f$ e un vettore $a$, a questo punto appliche la trasformaizone ad $a$, e se il nuovo vettore sarà uguale a $lambdaa$, $(f(a)=lambdaa$ cioè il trasformato è proporzionale al vettore d partenza), $lambda$, sarà un'autovalore, e $a$ un'autovettore...
spero di essere stato utile...
cioè se il la trasformazione "dilata" il vettore la coppia vettore/scalare diventa autovettore/autovalore?
"Luc@s":
cioè se il la trasformazione "dilata" il vettore la coppia vettore/scalare diventa autovettore/autovalore?
bhe si, detto mooolto in parole povere....
ma il concetto è quello...
dal concetto povero si arriva alla ricca comprensione... io la vedo così...
Però ora mi servirebbe qualche esempio reale cosi astraggo e capisco meglio
Però ora mi servirebbe qualche esempio reale cosi astraggo e capisco meglio
ok, vediamo...
sia $f(x;y)=(3x-y,x+y)$, come sai, alla trasformazione, puoi associare una matrice $A$ del tipo $A=[(3,-1),(1,1)]$ adesso calcolando il polinomio caratteristico, scoprirai che l'unico autovalore $lambda$ è $2$...
trovi l'autospazzio associato a $lambda$ e risolvi il sistema associato all'autospazio (in questo caso viene $x=y$), perciò tutti i vettori del tipo $(x,x)$ saranno autovettori (ex $(2,2), (3,3)$ ecc... )
sia $f(x;y)=(3x-y,x+y)$, come sai, alla trasformazione, puoi associare una matrice $A$ del tipo $A=[(3,-1),(1,1)]$ adesso calcolando il polinomio caratteristico, scoprirai che l'unico autovalore $lambda$ è $2$...
trovi l'autospazzio associato a $lambda$ e risolvi il sistema associato all'autospazio (in questo caso viene $x=y$), perciò tutti i vettori del tipo $(x,x)$ saranno autovettori (ex $(2,2), (3,3)$ ecc... )
"Domè89":
ok, vediamo...
sia $f(x;y)=(3x-y,x+y)$, come sai, alla trasformazione, puoi associare una matrice $A$ del tipo $A=[(3,-1),(1,1)]$ adesso calcolando il polinomio caratteristico, scoprirai che l'unico autovalore $lambda$ è $2$...
trovi l'autospazzio associato a $lambda$ e risolvi il sistema associato all'autospazio (in questo caso viene $x=y$), perciò tutti i vettori del tipo $(x,x)$ saranno autovettori (ex $(2,2), (3,3)$ ecc... )
Ora ti sorprendo con effetti speciali:
io, senza fare calcoli, ti dico che un autovettore della tua matrice è $(1,1)$:
quando la somma dei coefficienti sulle righe di una matrice è costante (nel tuo caso questa
costante è uguale a 2), il vettore $(1,1,1,...,1)$ è autovettore con autovalore uguale alla
somma comune.
Se le colonne hanno somma costante pari a $k$, possiamo dire che $k$ è autovalore di $A$
(tanto $A$ e la sua trasposta $A^T$ sono matrici simili)
decisamente da effetti speciali... 
adesso capisco cosa vuol dire avere esperienza...
purtoppo ne ho ancora veramente poca... ma spero d migliorare...
comunque mi confermi che il mio procedimento è esatto???
adesso capisco cosa vuol dire avere esperienza...
purtoppo ne ho ancora veramente poca... ma spero d migliorare...
comunque mi confermi che il mio procedimento è esatto???
"Domè89":
decisamente da effetti speciali...
adesso capisco cosa vuol dire avere esperienza...
purtoppo ne ho ancora veramente poca... ma spero d migliorare...
comunque mi confermi che il mio procedimento è esatto???
Allora guardiamo la tua matrice
$A=((3,-1),(1,1))$
so che $lambda=2$ è un autovalore con autovettore $(1,1)$;
per il calcolo dell'altro autovalore ho più strade:
1) calcolo il polinomio caratteristico
2) considero il determinante della matrice
3) considero la traccia della matrice
Ovviamente seguo la strada numero 3: la traccia è uguale a 4,
che risulta essere pari alla somma degli autovalori.
Da questo deduco che $lambda=2$ è autovalore con molteplicità
algebrica pari a 2.
La forma di Jordan della matrice $A$ è:
$J = ((2,1),(0,2))$
La molteplicità geometrica di $lambda=2$ è uguale a 1,
quindi gli unici autovettori sono quelli del tipo $(x,x)$.
D'altra parte non poteva essere la matrice
$2I_2 = ((2,0),(0,2))$
in quanto essa è simile solo a se stessa.
scusa, però non sapendo il metodo della traccia, (so cos'è: la somma deli elementi sulla diagonale) non capisco.. cioè ipotizziamo la $tr=5$ allora l'altro autvalore sarebbe stato $lambda=3$?
La base che permette la forma di Jordan è:
$(1,1)$ e $(1,0)$.
Basta fare la verifica:
$A(1,1) = (2,2) = 2 cdot (1,1) + 0 cdot (1,0)$
$A(1,0) = (3,1) = 1 cdot (1,1) + 2 cdot (1,0)$
$(1,1)$ e $(1,0)$.
Basta fare la verifica:
$A(1,1) = (2,2) = 2 cdot (1,1) + 0 cdot (1,0)$
$A(1,0) = (3,1) = 1 cdot (1,1) + 2 cdot (1,0)$
"Domè89":
scusa, però non sapendo il metodo della traccia, (so cos'è: la somma deli elementi sulla diagonale) non capisco.. cioè ipotizziamo la $tr=5$ allora l'altro autvalore sarebbe stato $lambda=3$?
ovvio!
"franced":
La base che permette la forma di Jordan è:
$(1,1)$ e $(1,0)$.
Basta fare la verifica:
$A(1,1) = (2,2) = 2 cdot (1,1) + 0 cdot (1,0)$
$A(1,0) = (3,1) = 1 cdot (1,1) + 2 cdot (1,0)$
sisi, fino a quà ci sono... mi sfugge solo quello della traccia....
E, avendo in quel caso da te ipotizzato $lambda_1 ne lambda_2$ la matrice sarebbe stata diagonalizzabile!
"franced":
E, avendo in quel caso da te ipotizzato $lambda_1 ne lambda_2$ la matrice sarebbe stata diagonalizzabile!
sisi queto si... domanda stupida...
pensavo che $tr=lambda_1+...+lambda_n$... oltre alla classica definizione...
"Domè89":
[quote="franced"]E, avendo in quel caso da te ipotizzato $lambda_1 ne lambda_2$ la matrice sarebbe stata diagonalizzabile!
sisi queto si... domanda stupida...
pensavo che $tr=lambda_1+...+lambda_n$... oltre alla classica definizione...[/quote]
Per fare gli esercizi è bene sfruttare tutte le cose che si conoscono.
Odio fare calcoli inutili..
la penso esattamente come a te!!!
grazie mille per le info!!!
grazie mille per le info!!!
Di niente, l'algebra lineare è il mio pallino.
Nella mia tesi ci sono decine di matrici per ogni pagina!!
Nella mia tesi ci sono decine di matrici per ogni pagina!!
"Domè89":
ok, vediamo...
sia $f(x;y)=(3x-y,x+y)$, come sai, alla trasformazione, puoi associare una matrice $A$ del tipo $A=[(3,-1),(1,1)]$ adesso calcolando il polinomio caratteristico, scoprirai che l'unico autovalore $lambda$ è $2$...
trovi l'autospazzio associato a $lambda$ e risolvi il sistema associato all'autospazio (in questo caso viene $x=y$), perciò tutti i vettori del tipo $(x,x)$ saranno autovettori (ex $(2,2), (3,3)$ ecc... )
come faccio il passo il grassetto??
"franced":
(cut)molteplicità algebrica
(cut)molteplicità geometrica
domanda magari stupida...ma come trovo queste due???
Ciauz
data una trasformazione lineare un autovettore per tale trasformazione è tale che questa non agisce su di esso per rotazioni ma semplicemente lo allunga di un fattore(l'autovalore)...inoltre se è vero per un vettore è vero per tutto il sottospazio da esso generato..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo