[Alg. Lineare] Autovettori e Autovalori
Qualcuno mi può spiegare meglio autovettori e autovalori e darmi qualche esempio pratico??
Non sono sicuro di averli capiti del tutto...
Tnks
Non sono sicuro di averli capiti del tutto...
Tnks
Risposte
mi basta un esempietto... così poi mi sistemo.... grazie a tutti comuque
Ciauz
Ciauz
"Luc@s":
[quote="Domè89"]ok, vediamo...
sia $f(x;y)=(3x-y,x+y)$, come sai, alla trasformazione, puoi associare una matrice $A$ del tipo $A=[(3,-1),(1,1)]$ adesso calcolando il polinomio caratteristico, scoprirai che l'unico autovalore $lambda$ è $2$...
trovi l'autospazzio associato a $lambda$ e risolvi il sistema associato all'autospazio (in questo caso viene $x=y$), perciò tutti i vettori del tipo $(x,x)$ saranno autovettori (ex $(2,2), (3,3)$ ecc... )
come faccio il passo il grassetto??[/quote]
per trovare l'autospazio associato all'autovalore $lambda$ devi sostituire il varole dell'autovalore (scusate il gioco d parole...
) nella matrice che hai usato per calcolare il polinomio caratteristico ($A-lambdaI_n$) a questo punto risolvi il sistema associato alla matrice e trovi le basi per l'autospazio...se non t è chiaro, facci sapere...
P.s. la $ma(lambda)$ è l'esponente dell'autovalore, mentra la $mg(lambda)$ è la dimensione dell'autospazio associato a $lambda$
"Domè89":
per trovare l'autospazio associato all'autovalore $lambda$ devi sostituire il varole dell'autovalore (scusate il gioco d parole...
se non t è chiaro, facci sapere...
P.s. la $ma(lambda)$ è l'esponente dell'autovalore, mentra la $mg(lambda)$ è la dimensione dell'autospazio associato a $lambda$
primo passo ok...
Per il p.s... come si calcolano???
Grazie comunque... sto imparando molto
Ciauz
allora, se il tuo polinomio caratteristico $P_f*(lambda)=lambda(lambda-1)^2$
avrai come autovalori, $lambda=0$ e $lambda=1$. adesso la $ma(lambda_0)=1$ (l'esponente che ha nel pol caratteristico) invece la $ma(lambda_1)=2$....
avrai come autovalori, $lambda=0$ e $lambda=1$. adesso la $ma(lambda_0)=1$ (l'esponente che ha nel pol caratteristico) invece la $ma(lambda_1)=2$....
"Domè89":
allora, se il tuo polinomio caratteristico $P_f*(lambda)=lambda(lambda-1)^2$
avrai come autovalori, $lambda=0$ e $lambda=1$. adesso la $ma(lambda_0)=1$ (l'esponente che ha nel pol caratteristico) invece la $ma(lambda_1)=2$....
ok
e $mg(\lambda) = dim( V(\lambda) )$ giusto?
Tnks
"Luc@s":
[quote="Domè89"]allora, se il tuo polinomio caratteristico $P_f*(lambda)=lambda(lambda-1)^2$
avrai come autovalori, $lambda=0$ e $lambda=1$. adesso la $ma(lambda_0)=1$ (l'esponente che ha nel pol caratteristico) invece la $ma(lambda_1)=2$....
ok
e $mg(\lambda) = dim( V(\lambda) )$ giusto?
Tnks[/quote]
esattissimo---
P.s. ricordati due cose
1) $1<=mg(lambda)<=ma(lambda)$
2) affinche la miatrice possa essere diagonalizzabile deve venire $ma(lambda)=mg(lambda)$
ciao ciao
"Domè89":
esattissimo---
P.s. ricordati due cose
1) $1<=mg(lambda)<=ma(lambda)$
2) affinche la miatrice possa essere diagonalizzabile deve venire $ma(lambda)=mg(lambda)$
ciao ciao
Ora dirò una castronata assurda ma sto studiando quindi errare mi serve... quindi in una $M_{2x2}(K)$ $mg(\lambda) = 2$ se i vettori della matrice sono l.i?
Ciauz
no, non è detto... esempio:
$A:[(1,3),(-4,2)]$ il polinomio è: $(lambda-5)(lambda+2)$ in questo caso la $ma(lambda)=1$ per tutti e due gli autovalori
$A:[(1,3),(-4,2)]$ il polinomio è: $(lambda-5)(lambda+2)$ in questo caso la $ma(lambda)=1$ per tutti e due gli autovalori
quindi $ma$ ha un solo valore se $\lambda$ ha esp uguali e + valori se ne ha diversi...
Mentre per $mg$ mi devo basare, per un rapido calcolo, sui vett. l.i?
Mentre per $mg$ mi devo basare, per un rapido calcolo, sui vett. l.i?
no, direi di no...
ti può capitare di avere autovalor cn $ma(lambda)=1$ e con $ma(lambda)=2$ e via dicendo... dioende da come si scompone il polinomipo carateristico... per la $mg$ invece, non penso centri con i vettori della matrice d partenza... io ho sempre fatto con gli autospazi...
ti può capitare di avere autovalor cn $ma(lambda)=1$ e con $ma(lambda)=2$ e via dicendo... dioende da come si scompone il polinomipo carateristico... per la $mg$ invece, non penso centri con i vettori della matrice d partenza... io ho sempre fatto con gli autospazi...
"Domè89":
no, direi di no...
ti può capitare di avere autovalor cn $ma(lambda)=1$ e con $ma(lambda)=2$ e via dicendo... dioende da come si scompone il polinomipo carateristico... per la $mg$ invece, non penso centri con i vettori della matrice d partenza... io ho sempre fatto con gli autospazi...
ok!
Quindi trovo la dim dell'autospazio... capito
Scusa se faccio domande banali
Ciauz
tranquillo...
sono abbastanza fresco perchè l'esame l'ho dato venerdì...
e se posso cito il mio prof di analisi: "le domande non sono mai stupide, al massimo lo sono le risposte"...
ciao
sono abbastanza fresco perchè l'esame l'ho dato venerdì...
e se posso cito il mio prof di analisi: "le domande non sono mai stupide, al massimo lo sono le risposte"...
ciao
posso chiederti un ultimo favore?
Mi puoi fare un esempio completo di tutto quello di cui abbiamo parlato fin'ora?
Così ho una base e una referenza..
Grazie ancora
Ciauz
Mi puoi fare un esempio completo di tutto quello di cui abbiamo parlato fin'ora?
Così ho una base e una referenza..
Grazie ancora
Ciauz
se guardi all'inizio du questo topic, vedrai che avevo postato un esempio...
Se volete un caso molto semplice di autovalore con molteplicità alg < molt. geom
basta prendere il blocco di Jordan:
$A = [(3,1),(0,3)]$
l'unico autovalore è $\lambda=3$ e l'unico autovettore è $(1;0)$.
Variando anche di pochissimo uno dei due valori sulla diagonale troviamo
una matrice diagonalizzabile; ad esempio:
$B = [(3,1),(0,3.000001)]$
o, in generale, se preferite:
$B = [(3,1),(0,3+epsilon)]$
con $epsilon ne 0$
basta prendere il blocco di Jordan:
$A = [(3,1),(0,3)]$
l'unico autovalore è $\lambda=3$ e l'unico autovettore è $(1;0)$.
Variando anche di pochissimo uno dei due valori sulla diagonale troviamo
una matrice diagonalizzabile; ad esempio:
$B = [(3,1),(0,3.000001)]$
o, in generale, se preferite:
$B = [(3,1),(0,3+epsilon)]$
con $epsilon ne 0$
Ma attenzione, se lasciate stare gli elementi sulla diagonale e variate
il valore dell'elemento di posto $(1,2)$ (nella matrice $A$ questo valore è 1),
trovate una matrice che non è diagonalizzabile:
$C = [(3,1+epsilon),(0,3)]$
infatti, togliendo $3$ dalla diagonale, resta un valore $ne 0$ (purché $epsilon ne -1$).
Le uniche matrici diagonalizzabili $2 \times 2$ con un solo autovalore sono le multiple
della matrice identica.
il valore dell'elemento di posto $(1,2)$ (nella matrice $A$ questo valore è 1),
trovate una matrice che non è diagonalizzabile:
$C = [(3,1+epsilon),(0,3)]$
infatti, togliendo $3$ dalla diagonale, resta un valore $ne 0$ (purché $epsilon ne -1$).
Le uniche matrici diagonalizzabili $2 \times 2$ con un solo autovalore sono le multiple
della matrice identica.
grazie per la precisazione 
Ciauz
Ciauz
"Domè89":
P.s. la $ma(lambda)$ è l'esponente dell'autovalore,
Ultima cosuccia...
Esponente massimo, no??
Ciauz
"Domè89":
provo a darti io una definizione, ma prendila moolto leggera...
...tu hi una trasformazione $f$ e un vettore $a$, a questo punto appliche la trasformaizone ad $a$, e se il nuovo vettore sarà uguale a $lambdaa$, $(f(a)=lambdaa$ cioè il trasformato è proporzionale al vettore d partenza), $lambda$, sarà un'autovalore, e $a$ un'autovettore...
spero di essere stato utile...
Una precisazione: $a$ deve essere $\ne 0$.
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