Alcuni dubbi sulla quartica
ciao!
ho dei dubbi su questo esercizio mi potete aiutare?
sia C la quartica $F(x_0,x_1,x_2)=x_0x_1^2x_2+x_1^4+x_2^4=0$
1)determinare i suoi punti singolari, il loro tipo e le tangenti in essi.
2)calcola l'hessiana e il numero di flessi
3)verifica che C è razionale e scrivi equazioni parametriche per essa.
4)traccia un grafico della deomogenizzata da C rispetto a $x_0=1$
io ho calcolato le derivate parziali prime di $F$, le ho messe a sistema ed ho ottenuto che l'unico punto singolare di molteplicità 4 è $P(1,0,0)$ ma non so some scrivere la tangente
per il secondo punto ho calcolato le derivate parziali seconde, costruito la matrice hessiana e ho calcolato l'hessiana che è $H(x_0,x_1,x_2)=6x_1^2(x_0x_1^2x_2-2x_1^4-8x_2^4)=0$ ma non so andare avanti..
per il terzo punto so che C è razionale se il suo genere dato da $1/2(n-1)(n-2)-d-k=0$ dove d sono i punti doppi k i punti di cuspidi di prima specie. in questo caso n=4 ma come calcolo d e k?
per l' ultimo punto la deomogenizzata è $x_1^2x_2+x_1^4+x_2^4=0$ ma come traccio il grafico?
ho dei dubbi su questo esercizio mi potete aiutare?
sia C la quartica $F(x_0,x_1,x_2)=x_0x_1^2x_2+x_1^4+x_2^4=0$
1)determinare i suoi punti singolari, il loro tipo e le tangenti in essi.
2)calcola l'hessiana e il numero di flessi
3)verifica che C è razionale e scrivi equazioni parametriche per essa.
4)traccia un grafico della deomogenizzata da C rispetto a $x_0=1$
io ho calcolato le derivate parziali prime di $F$, le ho messe a sistema ed ho ottenuto che l'unico punto singolare di molteplicità 4 è $P(1,0,0)$ ma non so some scrivere la tangente
per il secondo punto ho calcolato le derivate parziali seconde, costruito la matrice hessiana e ho calcolato l'hessiana che è $H(x_0,x_1,x_2)=6x_1^2(x_0x_1^2x_2-2x_1^4-8x_2^4)=0$ ma non so andare avanti..
per il terzo punto so che C è razionale se il suo genere dato da $1/2(n-1)(n-2)-d-k=0$ dove d sono i punti doppi k i punti di cuspidi di prima specie. in questo caso n=4 ma come calcolo d e k?
per l' ultimo punto la deomogenizzata è $x_1^2x_2+x_1^4+x_2^4=0$ ma come traccio il grafico?
Risposte
a) Poiché nell'equazione della quartica C mancano i termini in $x_o$ di grado superiore ad 1 allora la C ha in $(1,0,0)$ un punto multiplo di ordine 4-1=3, ovvero un punto triplo. Il complesso tangente a C in tale punto si ottiene ponendo a zero il coefficiente di $x_o$:
$x_1^2x_2=0$
che si spezza nelle rette :
$x_1=0$ , contata due volte
$x_2=0$
Entrambe queste tangenti hanno un contatto quadripunto con C e dunque da C escono due rami , uno lineare con tangente $x_2=0$ e l'altro cuspidale con tangente $x_1=0$
b)I flessi sono le intersezioni di C con l'hessiana, diverse dai punti multipli. Occorre quindi risolvere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x_1^4+x_2^4+x_ox_1^2x_2=0\\6x_1^2(x_ox_1^2x_2-2x_1^4-8x_2^4)=0\end{cases} \)
Con un po' di calcoli si vede che tale sistema ha l'unica soluzione reale $(1,0,0)$ che però coincide col punto triplo. Ne segue che la C non ha flessi ( ordinari).
c) Poiché la C ha un punto triplo, equivalente a 3 punti doppi, essa ha il massimo numero di punti singolari ammissibili per una quartica e dunque C è razionale. Per avere le equazioni parametriche di C basta intersecarla con una retta
passante per (1,0,0) di equazione $x_2=tx_1$. Passando a coordinate deomogenizzate ( $x_0=1)$ si tratta di risolvere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x_1^4+x_2^4+x_1^2x_2=0\\x_2=tx_1\end{cases} \)
facendo i dovuti calcoli si trovano le equazioni parametriche di C:
\(\displaystyle \begin{cases}x_1=-\frac{t}{1+t^4}\\x_2=-\frac{t^2}{1+t^4}\end{cases} \)
d) Per quanto riguarda il grafico lascio a te il compito. Puoi trarre indicazioni dal tipo dei punti multipli , dalla posizione della curva nel piano ($x_1,x_2$), dai valori massimi e minimi che prendono $x_1,x_2$ al variare di t. Il grafico è quello allegato.
come si studiano i tipi dei punti multipli , la posizione della curva nel piano , i valori massimi e minimi che prendono al variare di t.?
Per i punti multipli ho già detto : l'origine è un punto triplo in cui la C presenta un ramo lineare con tangente l'asse $x_1$ di equazione $x_2=0$ ed un ramo cuspidale con tangente l'asse $x_2$ di equazione $x_1=0$
Altre considerazioni si possono fare esaminando le equazioni di C ma non sono di carattere generale ma piuttosto legate al problema con cui si ha che fare al presente.
Per esempio dalle equazioni parametriche di C si vede benissimo che è sempre $x_2<=0$ e ciò prova che la C è tutta nel semipiano sotto l'asse $x_1$
Inoltre se, con i normali metodi di Analisi1, si studiano le due funzioni di t date da $x_1(t),x_2(t)$ si può concludere che è:
\(\displaystyle -\frac{3}{4\sqrt[4]{3}} \leq x_1\leq +\frac{3}{4\sqrt[4]{3}} \),$-1/2<=x_2<=0$
Pertanto la C è tutta contenuta nel rettangolo delimitato dalle rette :
\(\displaystyle x_1=-\frac{3}{4\sqrt[4]{3}} ,x_1= + \frac{3}{4\sqrt[4]{3}} ,x_2=-\frac{1}{2},x_2=0 \)
a cui la quartica è tangente.
Queste considerazioni permettono di ottenere una prima bozza di C (così come nella figura allegata ) che personalmente reputo sufficiente per quanto richiesto.
Altre considerazioni si possono fare esaminando le equazioni di C ma non sono di carattere generale ma piuttosto legate al problema con cui si ha che fare al presente.
Per esempio dalle equazioni parametriche di C si vede benissimo che è sempre $x_2<=0$ e ciò prova che la C è tutta nel semipiano sotto l'asse $x_1$
Inoltre se, con i normali metodi di Analisi1, si studiano le due funzioni di t date da $x_1(t),x_2(t)$ si può concludere che è:
\(\displaystyle -\frac{3}{4\sqrt[4]{3}} \leq x_1\leq +\frac{3}{4\sqrt[4]{3}} \),$-1/2<=x_2<=0$
Pertanto la C è tutta contenuta nel rettangolo delimitato dalle rette :
\(\displaystyle x_1=-\frac{3}{4\sqrt[4]{3}} ,x_1= + \frac{3}{4\sqrt[4]{3}} ,x_2=-\frac{1}{2},x_2=0 \)
a cui la quartica è tangente.
Queste considerazioni permettono di ottenere una prima bozza di C (così come nella figura allegata ) che personalmente reputo sufficiente per quanto richiesto.
un ultima domanda... per la parametrizzazione razionale di una generica curva come si procede? c'e' una prassi generale?
La parametrizzazione di una curva algebrica C, di ordine n e razionale, si ottiene intersecando la medesima curva con il fascio della curve "aggiunte". Queste curve sono di ordine $n-2$, passano per tutti i punti multipli di C ( considerati ciascuno con molteplicità diminuita di 1) e per altri $n-3$ punti arbitrari di C. Facendo i conti si vede che tali intersezioni, al di fuori dei punti che già appartengono a C, si riducono ad una sola che chiamo P. Orbene le coordinate (variabili perché dipendenti dal parametro del fascio)) di tale intersezione residua P forniscono le equazioni parametriche di C.
Nel caso nostro la C ha ordine 4 e quindi le curve aggiunte hanno ordine n-2=4-2=2 e sono dunque coniche. Tali coniche devono passare: per il punto triplo di C T(1,0,0) con molteplicità diminuita di 1 ovvero con molteplicità 3-1=2, per un punto assegnato di C che chiamo Q e per il punto variabile che abbiamo chiamato P. Ma una conica con un punto doppio si spezza in due rette che nel nostro caso sono TQ e TP: la retta TQ è una retta fissa che si può trascurare mentre la retta TP, intersecata con C, fornisce il punto variabile P che è quello che dà le equazioni parametriche di C.
Nel nostro caso la retta TP, essendo T l'origine delle coordinate e P variabile , è una retta del tipo $x_2=tx_1$ con t parametro. Facendo sistema tra tale retta e la quartica C si ottengono le equazioni parametriche di C, come abbiamo già visto..
Nel caso nostro la C ha ordine 4 e quindi le curve aggiunte hanno ordine n-2=4-2=2 e sono dunque coniche. Tali coniche devono passare: per il punto triplo di C T(1,0,0) con molteplicità diminuita di 1 ovvero con molteplicità 3-1=2, per un punto assegnato di C che chiamo Q e per il punto variabile che abbiamo chiamato P. Ma una conica con un punto doppio si spezza in due rette che nel nostro caso sono TQ e TP: la retta TQ è una retta fissa che si può trascurare mentre la retta TP, intersecata con C, fornisce il punto variabile P che è quello che dà le equazioni parametriche di C.
Nel nostro caso la retta TP, essendo T l'origine delle coordinate e P variabile , è una retta del tipo $x_2=tx_1$ con t parametro. Facendo sistema tra tale retta e la quartica C si ottengono le equazioni parametriche di C, come abbiamo già visto..
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