Alcuni dubbi su esercizi di algebra e geometria
Salve a tutti,
scrivo perchè avendo abbandonato per un po di tempo l universita per motivi di lavoro mi trovo a dover sostenere alcuni esami a dicembre e mi sento un po con l'acqua alla gola
Dovendo fare l'esame di algebra sto svolgendo alcuni esercizi e su due in particolare ho dei dubbi:
1)in $R3$ sono dati i vettori v=(2,1,3) w=(1,k,k). Verificare che v e w sono linearmente indipendenti per ogni valore di k e per ogni valore di k trovare un vettore u tale che v,w,u sia una base di $R3$
Ora secondo me i due vettori sono chiaramente indipendenti perche dato che per essere dipendenti w dovrebbe essere multiplo di v e ciò non è chiaramente possibile dato che se k è multiplo o sottomultiplo di 1 non puo esserlo di tre. Il mio dubbio risiede sul come faccio a trovare il vettore u per far si che l insieme sia una base per R3 cioè basta impostarlo come generico vettore u=(x,y,z) o cosa?
2) Per quanto riguarda il secondo dubbio la domanda è se ho la funzione che in M(2,2) manda ogni matrice nella sua trasposta dopo aver provato che è lineare come faccio a dimostrare che è biiettiva e a discutere la sua diagonalizzabilità?
Vi ringrazio veramente tanto in anticipo per ogni risposta.
scrivo perchè avendo abbandonato per un po di tempo l universita per motivi di lavoro mi trovo a dover sostenere alcuni esami a dicembre e mi sento un po con l'acqua alla gola
Dovendo fare l'esame di algebra sto svolgendo alcuni esercizi e su due in particolare ho dei dubbi:
1)in $R3$ sono dati i vettori v=(2,1,3) w=(1,k,k). Verificare che v e w sono linearmente indipendenti per ogni valore di k e per ogni valore di k trovare un vettore u tale che v,w,u sia una base di $R3$
Ora secondo me i due vettori sono chiaramente indipendenti perche dato che per essere dipendenti w dovrebbe essere multiplo di v e ciò non è chiaramente possibile dato che se k è multiplo o sottomultiplo di 1 non puo esserlo di tre. Il mio dubbio risiede sul come faccio a trovare il vettore u per far si che l insieme sia una base per R3 cioè basta impostarlo come generico vettore u=(x,y,z) o cosa?
2) Per quanto riguarda il secondo dubbio la domanda è se ho la funzione che in M(2,2) manda ogni matrice nella sua trasposta dopo aver provato che è lineare come faccio a dimostrare che è biiettiva e a discutere la sua diagonalizzabilità?
Vi ringrazio veramente tanto in anticipo per ogni risposta.
Risposte
Per il primo problema: devi trovare un vettore $u$ che non sia linearmente dipendente dagli altri. Appositi teoremi, poi, dimostrano che in uno spazio di dimensione $n$ una base è composta da $n$ vettori lin. ind.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo