Alcune domande
ciao a tutti, qualcuno di voi sa le risposte a queste domande o anche solo a qualcuna? potrebbe motivarle? grazie mille in anticipo a chiunque risponda
1)
Sia $R^n$ con il prodotto scalare standard e sia $A$ una matrice $n×n$. I vettori riga di A sono perpendicolari al $ker(A)$? Sono perpendicolari a $Im(A)$?
2)
Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale reale $V$ , con un prodotto scalare definito positivo,
a) $(U ∩W)^\bot$ e’ perpendicolare sia ad U che a W?
b) $(U + W)^\bot$ e’ perpendicolare sia ad U che a W?
3)
Se $A$ e’ una matrice con un autovalore nullo allora $A$ e’ invertibile?
1)
Sia $R^n$ con il prodotto scalare standard e sia $A$ una matrice $n×n$. I vettori riga di A sono perpendicolari al $ker(A)$? Sono perpendicolari a $Im(A)$?
2)
Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale reale $V$ , con un prodotto scalare definito positivo,
a) $(U ∩W)^\bot$ e’ perpendicolare sia ad U che a W?
b) $(U + W)^\bot$ e’ perpendicolare sia ad U che a W?
3)
Se $A$ e’ una matrice con un autovalore nullo allora $A$ e’ invertibile?
Risposte
Serve che tu esprima le tue opinioni se vuoi essere aiutato.
allora, per quanto riguarda la 1 credo che i vettori riga siano perpendicolari al $ker$ perché il $ker$ è $Ax=0$ per quanto riguarda il fatto che siano perpendicolari all'immagine non so proprio come ricavarlo.
per la 2a) credo che $(U∩W)^\bot$ sia perpendicolare sia a $U$ che a $W$ intuitivamente perché prendo gli elementi che questi hanno in comune e poi trovo l'insieme a loro perpendicolare
per la 2)b secondo me $(U+W)^\bot$ è perpendicolare a entrambi gli spazi in quanto la base di $U+W$ è la somma della basi( credo) dunque $(U+W)^\bot$ è perpendicolare sia alla base di $U$ che a quella di $W$
per la 3) penso che non sia invertibile però non lo so dimostrare in generale, ho pensato questo, se la mia matrice ha un'autovalore nullo , poi io la diagonalizzo, il det della matrice diagonale è $0$ quindi non è invertibile, essendo la matrice diagonale simile alla matrice iniziale hanno lo stesso determinante e quindi la matrice iniziale non è invertibile, non riesco a generalizzarla quest'idea
per la 2a) credo che $(U∩W)^\bot$ sia perpendicolare sia a $U$ che a $W$ intuitivamente perché prendo gli elementi che questi hanno in comune e poi trovo l'insieme a loro perpendicolare
per la 2)b secondo me $(U+W)^\bot$ è perpendicolare a entrambi gli spazi in quanto la base di $U+W$ è la somma della basi( credo) dunque $(U+W)^\bot$ è perpendicolare sia alla base di $U$ che a quella di $W$
per la 3) penso che non sia invertibile però non lo so dimostrare in generale, ho pensato questo, se la mia matrice ha un'autovalore nullo , poi io la diagonalizzo, il det della matrice diagonale è $0$ quindi non è invertibile, essendo la matrice diagonale simile alla matrice iniziale hanno lo stesso determinante e quindi la matrice iniziale non è invertibile, non riesco a generalizzarla quest'idea
"angeloferrari":
allora, per quanto riguarda la 1 credo che i vettori riga siano perpendicolari al $ker$ perché il $ker$ è $Ax=0$ per quanto riguarda il fatto che siano perpendicolari all'immagine non so proprio come ricavarlo.
Sono d'accordo con te.
Infatti, la scrittura \( A \mathbf{x} = \mathbf{0} \) equivale al sistema lineare
\[ \begin{cases} (a_{11}\ \dots\ a_{1n})\, \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = 0 \\ \vdots \\ (a_{n1}\ \dots\ a_{nn})\, \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = 0 \end{cases} \]
Per quanto riguarda l'immagine, invece, non è vero in generale.
Ad esempio, ponendo \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) si ha che il generico elemento di \( \text{Im}\ f \) è \( (2x + 3y, x + 2y) \) (\( f \) è l'endomorfismo associato ad \( A \)). Passando ai prodotti scalari, si ha
\[ (2 \quad 3)\, \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ x + 2y \end{pmatrix} = 4x + 6y + 3x + 6y = 7x + 12y \]
che in generale è diverso da zero.
"angeloferrari":
per la 2a) credo che $(U∩W)^\bot$ sia perpendicolare sia a $U$ che a $W$ intuitivamente perché prendo gli elementi che questi hanno in comune e poi trovo l'insieme a loro perpendicolare, sulla somma non so dire nulla , magari ci penso un altro po' prima di una eventuale risposta e edito
Quando chiedi informalmente che "\( (U \cap W)^{\perp} \) è perpendicolare sia a \( U \) che a \( W \)" (stessa domanda per la richiesta (2b)) intendi chiedere se vale la relazione \( (U \cap W)^{\perp} = U^{\perp} \cap W^{\perp} \)?
"angeloferrari":
per la 3) penso che non sia invertibile però non lo so dimostrare in generale, ho pensato questo, se la mia matrice ha un'autovalore nullo , poi io la diagonalizzo, il det della matrice diagonale è $0$ quindi non è invertibile, essendo la matrice diagonale simile alla matrice iniziale hanno lo stesso determinante e quindi la matrice iniziale non è invertibile, non riesco a generalizzarla quest'idea
L'idea è buona, però non sai a priori se una matrice è diagonalizzabile o meno.
Facciamo allora questo ragionamento.
Se \( A \) ha l'autovalore \( 0 \), allora l'endomorfismo ad essa associato non è iniettivo (e quindi non invertibile). Se non è invertibile l'endomorfismo, non lo è neanche la sua matrice associata, dunque \( A \) non è invertibile.
per la 2a) chiedo se se $(U∩W)^\bot$ è perpendicolare sia a $U$ che a $W$ cioè se $(U∩W)^bot⊥W$ e se $(U∩W)^\bot⊥U$
stessa cosa per la somma, è vero che $(U+W)^bot⊥U$ e che $(U+W)^bot⊥W$ ?
per la 3 non sapevo la relazione che se un autovalore è nullo allora l'applicazione non è iniettiva quindi non invertibile quindi grazie mille per l'informazione, c'è qualche teorema a riguardo? grazie molte anche per la 1 !
stessa cosa per la somma, è vero che $(U+W)^bot⊥U$ e che $(U+W)^bot⊥W$ ?
per la 3 non sapevo la relazione che se un autovalore è nullo allora l'applicazione non è iniettiva quindi non invertibile quindi grazie mille per l'informazione, c'è qualche teorema a riguardo? grazie molte anche per la 1 !
La notazione che hai adottato (per esempio \( (U \cap W)^{\perp} \perp U \)) è priva di significato, perché il simbolo \( \perp \) si utilizza tra vettori e non tra sottospazi.
Una versione sensata della tua richiesta potrebbe essere: è vero che \( (U \cap W)^{\perp} = U^{\perp} \)?.
Così scrivendo chiedi che ogni vettore di \( (U \cap W)^{\perp} \) sia ortogonale ad ogni vettore di \( U \) (e quindi informalmente che \( (U \cap W)^{\perp} \) sia ortogonale a \( U \)).
Se la tua richiesta è questa, allora la risposta è no, perché vale la proprietà del complemento ortogonale
\[ U \cap W \subset U \Rightarrow U^{\perp} \subset (U \cap W)^{\perp} \]
Ti invito ad effettuare lo stesso ragionamento per rispondere alle altre richieste.
Si tratta della seguente osservazione: se \( f \) è l'endomorfismo associato ad \( A \) e \( V\, (0) \) è l'autospazio relativo all'autovalore \( 0 \), si ha
\[ V\, (0) = \ker\, f \]
da qui risulta immediata la caratterizzazione della non iniettività di \( f \).
Una versione sensata della tua richiesta potrebbe essere: è vero che \( (U \cap W)^{\perp} = U^{\perp} \)?.
Così scrivendo chiedi che ogni vettore di \( (U \cap W)^{\perp} \) sia ortogonale ad ogni vettore di \( U \) (e quindi informalmente che \( (U \cap W)^{\perp} \) sia ortogonale a \( U \)).
Se la tua richiesta è questa, allora la risposta è no, perché vale la proprietà del complemento ortogonale
\[ U \cap W \subset U \Rightarrow U^{\perp} \subset (U \cap W)^{\perp} \]
Ti invito ad effettuare lo stesso ragionamento per rispondere alle altre richieste.
"angeloferrari":
per la 3 non sapevo la relazione che se un autovalore è nullo allora l'applicazione non è iniettiva quindi non invertibile quindi grazie mille per l'informazione, c'è qualche teorema a riguardo? grazie molte anche per la 1 !
Si tratta della seguente osservazione: se \( f \) è l'endomorfismo associato ad \( A \) e \( V\, (0) \) è l'autospazio relativo all'autovalore \( 0 \), si ha
\[ V\, (0) = \ker\, f \]
da qui risulta immediata la caratterizzazione della non iniettività di \( f \).
ok, grazie mille della disponibilità, scusa per gli errori di notazione ma hai capito comunque quello che chiedevo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo