Alcune definizioni

[albireo1]

Vorrei avere delle definizioni precise riguardo i concetti di metrica, metrica euclidea, metrica riemanniana.
Vi riporto brevemente le idee che mi sono fatto, da cui probabilmente si deduce la confusione che ho in mente.
Da quello che ho capito:
-una metrica è sinonimo di distanza, ovvero una funzione che ad ogni coppia di elementi di un certo insieme associa un valore reale che deve soddisfare alcune proprietà proprie della distanza che non sto a riscrivere;
-una metrica euclidea è la distanza che, dati due elementi di un insieme in cui è definito un prodotto scalare, ne associa la norma del vettore che congiunge i due elementi, ovvero la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso. (Ma allora è definita solo in uno spazio affine?);
-una metrica riemanniana è definita come quel campo tensoriale che ad ogni punto di una varietà associa un prodotto scalare (Ma essendo una metrica non dovrebbe definire una distanza tra elementi dell'insieme in considerazione?)

[gugo82]

"albireo":Vorrei avere delle definizioni precise riguardo i concetti di metrica, metrica euclidea, metrica riemanniana.
Vi riporto brevemente le idee che mi sono fatto, da cui probabilmente si deduce la confusione che ho in mente.
Da quello che ho capito:
-una metrica è sinonimo di distanza, ovvero una funzione che ad ogni coppia di elementi di un certo insieme associa un valore reale che deve soddisfare alcune proprietà proprie della distanza che non sto a riscrivere;

Esatto.
Dire metrica o distanza è la stessa cosa.

"albireo":-una metrica euclidea è la distanza che, dati due elementi di un insieme in cui è definito un prodotto scalare, ne associa la norma del vettore che congiunge i due elementi, ovvero la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso. (Ma allora è definita solo in uno spazio affine?);

Se \(\mathbb{E}\) è uno spazio vettoriale euclideo (ossia col prodotto scalare \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) definito positivo), allora la funzione \(d(x ,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y\rangle}\) è una metrica, detta metrica euclidea di \(\mathbb{E}\).

Il nome viene dal fatto che il prodotto scalare canonico di \(\mathbb{R}^2\) induce quella distanza lì sul piano della Geometria Elementare.

"albireo":-una metrica riemanniana è definita come quel campo tensoriale che ad ogni punto di una varietà associa un prodotto scalare (Ma essendo una metrica non dovrebbe definire una distanza tra elementi dell'insieme in considerazione?)

Se su una varietà hai una funzione che "mima" il prodotto scalare, allora puoi usare quella nozione di prodotto scalare per indurre sulla varietà una funzione distanza. Il procedimento è più o meno lo stesso seguito negli spazi vettoriali euclidei, però è più complicato.
In proposito puoi vedere il doCarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, oppure Riemmanian Geometry dello stesso autore.

[albireo1]

Grazie mille della risposta, mi resta però ancora un dubbio.
La metrica riemanniana per come è definita (applicazione che associa ad ogni punto di una varietà un prodotto scalare che dipende in modo differenziabile dal punto) può indurre sulla varietà più di una funzione distanza, giusto? Ma allora in questo caso metrica (riemanniana) non sarebbe più sinonimo di distanza, no?

[albireo1]

Up!

[albireo1]

Mi sembra di aver capito che mentre in generale si parla di metrica come sinonimo di distanza, quando parliamo di metrica riemanniana non ci riferiamo a una determinata distanza ma ad un insieme di funzioni distanza che soddisfano le condizioni dette sopra. In questo caso quindi, metrica assume un significato più generale, come uno strumento che consente di definire varie funzioni distanza con certe caratteristiche comuni.
E' corretto?

[dissonance]

Si, infatti. Una metrica riemanniana non è una distanza. C'è un conflitto di notazioni, ma è così diffuso che ormai non è più possibile cambiarlo.

[albireo1]

Ok, perfetto, grazie del chiarimento!