Albegra Lineare e geometria
ciao,
qualcuno riesce a darmi qualche dritta, o addirittura la soluzione, di questo problema
http://img73.imageshack.us/my.php?image=provakr5.jpg
scusate se posto qui su imageshack il problema ma sono un po' pigro oggi....
qualcuno riesce a darmi qualche dritta, o addirittura la soluzione, di questo problema
http://img73.imageshack.us/my.php?image=provakr5.jpg
scusate se posto qui su imageshack il problema ma sono un po' pigro oggi....
Risposte
Invece, scrivendo il testo dell'esercizio avresti trovato immediatamente una risposta per il quesito 1)
Scrivendo le equazioni parametriche delle rette $r_1$
$\{(x=-2+t),(y=0),(z=t):}
e $r_2$
$\{(x=-2+h),(y=-h),(z=0):}
ci si accorge che
$r_1$ è $P + t (1,0,1)$
mentre
$r_2$ è $P + h (1,-1,0)$
quindi $P(-2,0,0)$ è il punto di intersezione delle rette incidenti $r_1$ e $r_2$.
Scrivendo le equazioni parametriche delle rette $r_1$
$\{(x=-2+t),(y=0),(z=t):}
e $r_2$
$\{(x=-2+h),(y=-h),(z=0):}
ci si accorge che
$r_1$ è $P + t (1,0,1)$
mentre
$r_2$ è $P + h (1,-1,0)$
quindi $P(-2,0,0)$ è il punto di intersezione delle rette incidenti $r_1$ e $r_2$.
ho provato a svolgerlo tramite l'utilizzo di 2 vettori ortogonali
v1=(3,0,-1)
v2=(1,-2,3)
ma poi non mi tornava......
grazie cmq
v1=(3,0,-1)
v2=(1,-2,3)
ma poi non mi tornava......
grazie cmq
perché introduci la coppia di vettori $v_1$ e $v_2$?
Dall'equazione vedi che la direzione di $r_1$ è il vettore $(1,0,1)$, mentre la direzione di $r_2$ è data dal vettore $(1,-1,0)$. Hanno direzioni diverse, con il punto $P$ in comune.
Per il punto 2), metti a sistema l'equazione del piano e quelle della retta
$\{(x=-2+t),(y=0),(z=t),(x-y+z=0):}$
Sostituendo $x,y,z$ nella quarta equazione determini il valore del parametro $t$ corrispondente al punto di intersezione tra $r_1$ e $\pi$:
$t-2+t=0$ da cui $t=1$ ed il punto di intersezione è $(-2,0,0)+1(1,0,1)=(-1,0,1)$
Per il punto 4) osserva che il vettore $(1,-1,1)$ è ortogonale a $\pi$ e ricorda che $P$ è il punto di intersezione tra $r_1$ e $r_2$, quindi
$(-2,0,0)+\lambda(1,-1,1)$
è l'equazione parametrica della retta cercata.
Da
$\{(x=-2 +\lambda),(y=-\lambda),(z=\lambda):}$
ricavi l'equazione cartesiana
$\{(x+y+2=0 ),(y=-z):}$
Per il punto 3) sai che il piano passa per $P$ ed è parallelo alla direzione di $r_1$ ed alla direzione $(1,-1,1)$ quindi perpendicolare al prodotto esterno tra questi due vettori...
ma applicando una formula trovi che l'equazione cercata è
$|(x+2,y-0,y-0),(1,0,1),(1,-1,1)|=0$
Dall'equazione vedi che la direzione di $r_1$ è il vettore $(1,0,1)$, mentre la direzione di $r_2$ è data dal vettore $(1,-1,0)$. Hanno direzioni diverse, con il punto $P$ in comune.
Per il punto 2), metti a sistema l'equazione del piano e quelle della retta
$\{(x=-2+t),(y=0),(z=t),(x-y+z=0):}$
Sostituendo $x,y,z$ nella quarta equazione determini il valore del parametro $t$ corrispondente al punto di intersezione tra $r_1$ e $\pi$:
$t-2+t=0$ da cui $t=1$ ed il punto di intersezione è $(-2,0,0)+1(1,0,1)=(-1,0,1)$
Per il punto 4) osserva che il vettore $(1,-1,1)$ è ortogonale a $\pi$ e ricorda che $P$ è il punto di intersezione tra $r_1$ e $r_2$, quindi
$(-2,0,0)+\lambda(1,-1,1)$
è l'equazione parametrica della retta cercata.
Da
$\{(x=-2 +\lambda),(y=-\lambda),(z=\lambda):}$
ricavi l'equazione cartesiana
$\{(x+y+2=0 ),(y=-z):}$
Per il punto 3) sai che il piano passa per $P$ ed è parallelo alla direzione di $r_1$ ed alla direzione $(1,-1,1)$ quindi perpendicolare al prodotto esterno tra questi due vettori...
ma applicando una formula trovi che l'equazione cercata è
$|(x+2,y-0,y-0),(1,0,1),(1,-1,1)|=0$
Rileggendo la mia risposta mi sono accorto che nel il punto 4) ho dato per scontato, senza pensarci troppo, che $s$ intersechi $r_1$ e $r_2$ nel punto $P$. E' vero, sai spiegare perché $s$ non interseca $r_1$ ed $r_2$ in due differenti punti?
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