Aiuto verificare se sono autovettori di f:
Buon giorno ragazzi scusate in anticipo... nel precedente compito (fallimento totale) la prof ci ha dato esercizio (che ora scrivo) ho provato a ragionare su come si potrei risolverlo ma sugli autovettori nonostante sono convinto di avere fatto uno studio buono dell argomento ancora mi trovo in difficolta ( mancanza di esercizi o di testa ? :'( ) e sarei felice mi poteste aiutare a capire quale è il miglior metodo risolutivo ho cercato ovunque ma nn c'è quasi niente su questo almeno credo mi potete aiutare??' l esercizio è:
sia un applicazione lineare da R^4 a R^4 l applicazione lineare di matrice associata $((2,3,0,0),(1,0,0,0),(1,-3,3,0),(0,1,-1,5))$
dire se i vettori $((0,2,2,0))$ $((-1,1,1,0))$ sono autovettori
io ho cercato gli autovalori che se il calcolo è giusto sono $\lambda$=0 $\lambda$=5 $\lambda$=3 $\lambda$=2 (ripeto se sono giusti perché ultimamente godo di un forte riabassamento di autostima e nn so piu se quello che faccio è giusto o sbagliato specialmente se mi escono da un equazione di 4 grado) cmq a quanto ho capito nn servono in questo caso ho provato a ragionare sulla definzione ma niente anticipatamente grazie :'(
sia un applicazione lineare da R^4 a R^4 l applicazione lineare di matrice associata $((2,3,0,0),(1,0,0,0),(1,-3,3,0),(0,1,-1,5))$
dire se i vettori $((0,2,2,0))$ $((-1,1,1,0))$ sono autovettori
io ho cercato gli autovalori che se il calcolo è giusto sono $\lambda$=0 $\lambda$=5 $\lambda$=3 $\lambda$=2 (ripeto se sono giusti perché ultimamente godo di un forte riabassamento di autostima e nn so piu se quello che faccio è giusto o sbagliato specialmente se mi escono da un equazione di 4 grado) cmq a quanto ho capito nn servono in questo caso ho provato a ragionare sulla definzione ma niente anticipatamente grazie :'(
Risposte
Gli autovalori sono in realtà \(\displaystyle \lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=3,\lambda_4=5 \). Però è meglio che aspetti conferma : se ti può consolare sono anch'io in difetto di autostima da un po' a questa parte ! 
Comunque tieni presente che la verifica la puoi fare anche senza trovare preventivamente gli autovalori e poi i corrispondenti autovettori. E' sufficiente che vai a verificare la condizione:
\(\displaystyle A\cdot ^t\vec{b}=\lambda \cdot ^t\vec{b} \)
dove A è la matrice assegnata, \(\displaystyle \vec{b} =\) uno dei due vettori dati e \(\displaystyle \lambda \) è uno scalare ( sostanzialmente si tratta della definizione di autovettore...).
Nel caso del vettore \(\displaystyle (0,2,2,0) \) trovi che \(\displaystyle A\cdot ^t(0,2,2,0)=^t(6,0,0,0) \) e non va bene.
Per l'altro vettore hai invece :
\(\displaystyle A\cdot ^t (-1,1,1,0) =^t(1,-1,-1,0) = -1 \cdot ^t(-1,1,1,0) \) e va bene. Il secondo vettore è un autovettore ( relativo all'autovalore \(\displaystyle \lambda_1 =-1\) )
Comunque tieni presente che la verifica la puoi fare anche senza trovare preventivamente gli autovalori e poi i corrispondenti autovettori. E' sufficiente che vai a verificare la condizione:
\(\displaystyle A\cdot ^t\vec{b}=\lambda \cdot ^t\vec{b} \)
dove A è la matrice assegnata, \(\displaystyle \vec{b} =\) uno dei due vettori dati e \(\displaystyle \lambda \) è uno scalare ( sostanzialmente si tratta della definizione di autovettore...).
Nel caso del vettore \(\displaystyle (0,2,2,0) \) trovi che \(\displaystyle A\cdot ^t(0,2,2,0)=^t(6,0,0,0) \) e non va bene.
Per l'altro vettore hai invece :
\(\displaystyle A\cdot ^t (-1,1,1,0) =^t(1,-1,-1,0) = -1 \cdot ^t(-1,1,1,0) \) e va bene. Il secondo vettore è un autovettore ( relativo all'autovalore \(\displaystyle \lambda_1 =-1\) )
riguardo agli autovalori posso solo dire :'( :'( :'( ... Xd
riguardo alla verifica grazie ^_^ ora provo subito il metodo con altri esercizi sei stato una luce nelle tenebre più profonde ^_^ grazissime per la risposta
riguardo alla verifica grazie ^_^ ora provo subito il metodo con altri esercizi sei stato una luce nelle tenebre più profonde ^_^ grazissime per la risposta
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