AIUTO URGENTE: RISOLUZIONE SISTEMI

[kenta88]

ciao ragazzi vi sarei grado se mi poteste aiutare. nel calcolo dei punti critici in una funzione a più variabile capita spesso di imbattersi a sistemi di equazioni a più variabili del tipo


${ 2x+2y^2=0$
${ 2y+2x^2=0$

questo è un esempio per farvi capire di che tipo di sistemi sto parlando, mi servirebbero dei metodi da applicare che sui libri e su internet non trovo. magari degli esempi
helppp!

[_Tipper]

Io ricaverei semplicemente una variabile di una equazione e andrei a sostituirla nell'altra. Cioè, dalla prima risulta $x = -y^2$, andando a sostituire nella seconda si trova

$2y + 2 y^4 = 0 \implies y (y^3 + 1)= 0$

Le uniche radici reali di questa equazione sono $y = 0$, $y = -1$, e ricordando che $x = -y^2$ si nota che i punti critici sono

$(0, 0) \qquad (-1, -1)$

[kenta88]

ho capito
ma mi spieghi bene il metodo?

[kenta88]

ho capito adesso scusami , allora guarda
ti do direttamente l'esercizio, me la dai una mano?

[kenta88]

trovare i punti critici della funzioine $f: R^2 -> R$ $ f(x,y)=2(x^3)(y^3) + x^2 + 3y^2 $ e classificarli.

allora, il primo passo che faccio è il gradiente quindi

derivata rispetto x $f'(x)=6x^2y^3+2x$
derivata rispetto y $f'(y)=6y^2x^3+6y$

ora le metto a sistema

${6x^2y^3+2x=0$
${6y^2x^3+6y=0$

ed è qui che mi blocco mi potresti dire da cosa inizieresti?

[kenta88]

vi prego ragà aiutatemi

[_Tipper]

Semplificando un po' le equazioni il sistema si può scrivere così

$\{(3 x^2 y^3 + x = 0),(y^2 x^3 + y = 0):}$

Raccogliendo $y$ nella seconda si ottiene $y (y x^3 + 1) = 0$, che si annulla per $y = 0$ e $y x^3 + 1 = 0$.

Se $y = 0$ allora, dalla prima, si ricava $x=0$, quindi un punto critico è $(0,0)$.

Se invece $y x^3 + 1 = 0$, per prima cosa si nota che $x=0$ non è soluzione, pertanto $y x^3 + 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{x^3}$. Andando a sostituire nell'altra equazione si ottiene

$-3 x^2 \frac{1}{x^9} + x = 0 \implies -3 + x^8 = 0$

Risolvi questa e hai finito (ho fatto i conti un po' alla svelta, quindi ricontrollali ).

[kenta88]

grazie mille ricontrollo subito

[kenta88]

scusa mi espliciti questo passaggio per favore?

$-3x^2*1/x^9 + x = 0 -> -3+x^8=0$

[_Tipper]

Ho moltiplicato ambo i membri per $x^7$.

[kenta88]

scusatemi ma poi da qui come vado avanti?

$x^8-3=0$$ -> x^8=3 -> x= 3^(1/8)
$y=1/x^3$

[kenta88]

ALLA FINE MI RITROVO IN UNA SITUAZIONE DEL GENERE

$x=3^(1/8)$
$y=1/(3^1/5)$

è giusto cosi?