Aiuto urgente di algebra

[notifier]

ragazzi mi serve una mano.....

come faccio a dimostrare che un sottospazio vettoriale è chiuso rispetto alla somma e chiuso rispetto al prodotto?


non lo riesco a capire

se mi potete fare qualche esempio ne sarei grato


grazie

[aleph_91]

Non è chiuso rispetto al prodotto ma rispetto alla moltiplicazione per scalari

[notifier]

si.........

ma non riesco a capire come dimostrarlo

help meeeeeee please

[Dorian1]

Per definizione.

[notifier]

sia K uno spazio vettoriale,e U un suo sottoinsieme .

U è un sottospazio vettoriale solo se :

è chiuso rispetto alla somma

è chiuso rispetto al prodotto con lo scalare


mi fate un esempio per dimostrare i due punti?

grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"notifier":sia K uno spazio vettoriale,e U un suo sottoinsieme .

U è un sottospazio vettoriale solo se :

è chiuso rispetto alla somma

è chiuso rispetto al prodotto con lo scalare


mi fate un esempio per dimostrare i due punti?

grazie

Cioè vorresti che ti aiutassimo a dimostrare una definizione?

[notifier]

si,

il caso in cui è chiuso rispetto alla somma

e il caso in cui è chiuso rispetto al prodotto

chiedo solamente qualche esempio

grazie

[@melia]

Pensa allo spazio cartesiano $RR^3$, quindi i vettori $(a, b, c)$ con $a, b, c in RR$, un suo sottospazio potrebbe essere la proiezione sul piano xy, ovvero quello generato dai vettori $(a, b, 0)$
Sia da un punto di vista algebrico che da un punto di vista grafico è facile vedere che il sottospazio è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.
È l'esempio più semplice che mi sia venuto in mente, spero ti sia abbastanza chiaro.

[notifier]

grazie

[Zkeggia]

Oppure se consideri tra tutti i polinomi di grado pari o inferiore a n quelli di grado pari o inferiore ad n-1 ottieni dei sottospazi ; ad esempio se tra i polinomi di grado minore di 5 (che sono uno spazio vettoriale) prendi solo il sottospazio dei polinomi di grado nullo (cioè generato dai soli termini noti) è ovvio che sommando dei polinomi di questo sottospazio e moltiplicandoli per uno scalare rimani nel sottospazio. Ovviamente per dimostrare che è così devi seguire la definizione, cioè prima guardi che lo 0 appartenga al sottospazio, poi prendi due polinomi generici di questo sottospazio, li sommi e osservi che la loro somma sia ancora contenuta nel sottospazio, infine ne moltiplichi uno per uno scalare generico e noti che il prodotto rimane interno al sottospazio. Un altro esempio facile da capire è simile a quello di melia, solo che devi pensare allo spazio cartesiano $RR^2$ e prendere una qualunque retta per l'origine. Se sommi due vettori che giacciono su questa retta rimani sulla retta, se li moltiplichi per uno scalare rimani sulla retta.

[notifier]

ad esempio io ho questo sotto insieme

e voglio vedere se è un sotto spazio vettoriale

T={(x,y,z)|x-y=1} in ℝ3

il vettore nullo (0,0,0) non appartiene a T(letto sul libro)

in pratica per vedere se il vettore nullo è contenuto nel sotto insieme devo fare la somma dei componenti (0,0,0)?

in questo caso 0-0+0=1?

aiutatemi a capire grazie

[Zkeggia]

Esattamente, l'insieme che consideri non contiene il vettore nullo, in questo caso è il vettore $0x + 0y + 0z$ . Dal momento che questo vettore non risulta appartenere a T, in quanto non ha le caratteristiche richieste, cioè che la differenza tra la coordinata x e la coordinata y sia 1, ciò implica che T non soddisfa il requisito di contenere il vettore nullo, quindi non è sottospazio vettoriale. In pratica devi guardare le condizioni di appartenenza dell'insieme e verificare che sia chiuso per somma (questo sottoinsieme ad esempio lo è), chiuso per prodotto per scalari (e anche questo requisito è soddisfatto) e che contenga il vettore nullo, che però non è verificato in questo caso.

Un aiuto: è un sottospazio se viene una cosa del tipo: $T= {(x,y,z)| x - y = 0}$ cioè se il termine noto della proprietà che verifica l'appartenenza di questo insieme è nullo. Infatti questo è l'unico modo perchè il vettore nullo appartenga a T.

[notifier]

grazie ora mi è tutto chiaro.

ad esempio T={(x,y,z)|x-y+z^2=0} non è un sotto spazio perchè il vettore di un sottospazio deve essere un polinomio omogeneo?

[Zkeggia]

Generalmente sì, però devi fare tutte le verifiche. In questo caso il vettore nullo appartiene a T, ma T è chiuso per somma? è chiuso per prodotto? Dimostramelo così vediamo se ci sei.

[devi prendere due generici vettori appartenenti a t e farne la somma e verificare se questa somma appartiene ancora a t.]

[Camillo]

Non è un sottospazio , corretto.
Il polinomio di cui parli deve essere omogeneo e di primo grado, cioè lineare .

[notifier]

"Zkeggia":Generalmente sì, però devi fare tutte le verifiche. In questo caso il vettore nullo appartiene a T, ma T è chiuso per somma? è chiuso per prodotto? Dimostramelo così vediamo se ci sei.

[devi prendere due generici vettori appartenenti a t e farne la somma e verificare se questa somma appartiene ancora a t.]

prendo due generici vettori appartenenti a T.

t1=(x1,y1,z1) t2=(x2,y2,z2)



(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) deve appartenere a T


quindi

(x1,x2)+(y1,y2)+(z1,z2)

ora verifico se è chiuso rispetto alla somma

(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2)^2=0


(x1-y1+z1^2)+(x2-y2+z2^2)+2z1z2=0

i primi due polinomi per definizione sono uguali a 0 quindi 2z1z2=0;

deduco che non è chiuso rispetto alla somma

giusto?

[Zkeggia]

esattamente, però quando posti qualche cosa usa i codici altrimenti ci vuole mezzora per capire quello che scrivi!

[notifier]

ok grazie