Aiuto su trasformazioni lineari
Ciao a tutti. Ho il seguente esercizio che dice:
"Verificare che l'applicazione di dominio $V=RR^4$ e codominio $W=RR^3$ così definita:
f: V -----------> W
(a,b,c,d)-------->(a+c,a+b,a+2b-c)
è lineare. Determinare la matrice rispetto alle basi canoniche; calcolare il rango della matrice, trovare $Imf$ e $Kerf$.
Ho verificato se è lineare e lo è. La matrice associata rispetto alle basi canoniche mi viene così:
$[(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,2,-1,0)]$
Il rango di tale matrice mi viene 2 (considerando l'unico minore che non ha la colonna con tutti zeri). Quindi la dimensione di $Imf=2$ e del $Kerf=2$. Ora mi chiedo quale sia l'immagine di f. Cioè visto che la dimensione dell'immagine è 2 non so quali colonne prendere dalla matrice per formare l'immagine (perché dovrebbero essere le colonne di tale matrice a formare l'immagine).
Grazie.
"Verificare che l'applicazione di dominio $V=RR^4$ e codominio $W=RR^3$ così definita:
f: V -----------> W
(a,b,c,d)-------->(a+c,a+b,a+2b-c)
è lineare. Determinare la matrice rispetto alle basi canoniche; calcolare il rango della matrice, trovare $Imf$ e $Kerf$.
Ho verificato se è lineare e lo è. La matrice associata rispetto alle basi canoniche mi viene così:
$[(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,2,-1,0)]$
Il rango di tale matrice mi viene 2 (considerando l'unico minore che non ha la colonna con tutti zeri). Quindi la dimensione di $Imf=2$ e del $Kerf=2$. Ora mi chiedo quale sia l'immagine di f. Cioè visto che la dimensione dell'immagine è 2 non so quali colonne prendere dalla matrice per formare l'immagine (perché dovrebbero essere le colonne di tale matrice a formare l'immagine).
Grazie.
Risposte
Riduci a scala per colonne la matrice
$((1,0,1),(1,1,0),(1,2,-1))$
Le colonne diverse dal vettore nullo formeranno una base dell'immagine.
$((1,0,1),(1,1,0),(1,2,-1))$
Le colonne diverse dal vettore nullo formeranno una base dell'immagine.
Visto che il rango della matrice è 2, ti basterà prendere due vettori colonna (linearmente indipendenti) della matrice diversi dal vettore nullo per avere una base di Im(f).
Per cui:
(1 1 1) e (0,1,2) formano il piano in cui tutti i valori di R^4 sotto l'azione di f si mappano.
Ciao!
Per cui:
(1 1 1) e (0,1,2) formano il piano in cui tutti i valori di R^4 sotto l'azione di f si mappano.
Ciao!
"pat87":
Visto che il rango della matrice è 2, ti basterà prendere due vettori colonna (linearmente indipendenti) della matrice diversi dal vettore nullo per avere una base di Im(f).
Però, in generale, non basta che siano diversi da zero. Devono essere linearmente indipendenti.
"franced":
[quote="pat87"]Visto che il rango della matrice è 2, ti basterà prendere due vettori colonna (linearmente indipendenti) della matrice diversi dal vettore nullo per avere una base di Im(f).
Però, in generale, non basta che siano diversi da zero. Devono essere linearmente indipendenti.[/quote]
Sì sì l'ho detto
, grazie cmq della puntualizzazione...
"pat87":
[quote="franced"][quote="pat87"]Visto che il rango della matrice è 2, ti basterà prendere due vettori colonna (linearmente indipendenti) della matrice diversi dal vettore nullo per avere una base di Im(f).
Però, in generale, non basta che siano diversi da zero. Devono essere linearmente indipendenti.[/quote]
Sì sì l'ho detto
, grazie cmq della puntualizzazione...[/quote]Bè, allora quando hai detto lin. indipendenti non serve dire diversi dal vettore nullo!
Grazie a tutti, io però non devo trovare una base per $Imf$ ma devo trovare proprio $Imf$
Edit: per caso sono tutte e tre le colonne?
Edit 2: inoltre volevo sapere se il $Kerf={(-c,a,c,0)}$.
Edit: per caso sono tutte e tre le colonne?
Edit 2: inoltre volevo sapere se il $Kerf={(-c,a,c,0)}$.
Data una base di $"Im"(f)$, hai trovato $"Im(f)$.
"Tipper":
Data una base di $"Im"(f)$, hai trovato $"Im(f)$.
Infatti una base, od anche un semplice sistema di generatori, individua univocamente il sottospazio che essa genera, anche se non vale il viceversa (nel senso che un sottospazio non individua univocamente una sua base od un suo sistema di generatori).
Per costruire $Im(f)$ a partire da una sua base $B$, ti basta considerare le combinazioni lineari dei vettori di $B$.
se hai una base $B=(b_1, b_2, ..., b_n)$ dell' $Im(f)$, allora $Im(f)=Span{(b_1, b_2, ..., b_n)}$
dove con $Span$ indico tutte le possibili combinazioni lienare dei vettori...
dove con $Span$ indico tutte le possibili combinazioni lienare dei vettori...
Ok, ma quindi io per trovare l'immagine di qualsiasi trasformazione lineare, devo trovare una base dell'immagine? Mi pare strano perché io so che l'immagine di una trasformazione lineare è un insieme di generatori, stop. Cioè non mi devo preoccupare se sono anche indipendenti (e quindi trovare una base). E' per questo che chiedevo se l'immagine erano le tre colonne della matrice.
per definizione un'insieme, viene detto di generatori, se posside vettori tra di loro linearmente indipendenti... 
Mah, veramente la nostra professoressa ci ha dato come definizione di base $B={v_1,...,v_n}$ un insieme di vettori che sono:
- Linearmente indipendenti
- Generano tutto lo spazio
Quindi il fatto che siano generatori non implica che siano indipendenti.
- Linearmente indipendenti
- Generano tutto lo spazio
Quindi il fatto che siano generatori non implica che siano indipendenti.
Mi potete spiegare questo fatto, per favore?
Dato uno spazio vettoriale $V$, non è detto che $n$ vettori linearmente indipendenti generino $V$ (a meno che la dimensione di $V$ sia proprio $n$), così come non è detto che un insieme di generatori di $V$ sia indipendente.
Prendi ad esempio $V = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y = x\}$. I vettori $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ generano $V$, ma non sono linearmente indipendenti, di conseguenza l'insieme $\{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ non è una base. Invece l'insieme formato da uno solo di questi vettori è una base, dal momento che genera $V$ ed è un insieme indipendente.
Prendi ad esempio $V = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y = x\}$. I vettori $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ generano $V$, ma non sono linearmente indipendenti, di conseguenza l'insieme $\{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ non è una base. Invece l'insieme formato da uno solo di questi vettori è una base, dal momento che genera $V$ ed è un insieme indipendente.
Questo ok. Ma a questo punto dato che devo trovare l'immagine io so che per definizione l'immagine di una trasformazione lineare è un insieme di generatori giusto? Una base per l'immagine è un insieme di generatori linearmente indipendenti. Quindi per trovare solo l'immagine non dovrei considerare le tre colonne della matrice?
Ah ho capito forse l'Imf sono tutte le combinazioni lineari di quei due vettori.
Sì: una base dell'immagine è $B = \{(1,1,1), (0,1,2)\}$, l'immagine pertanto coincide con lo span di $B$.
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