Aiuto su sistema lineare a partire da un varietà lineare
Non riesco a fare questo esercizio, o comunque non sono sicuro del risultato:
si scriva un sistema lineare il cui insieme delle soluzioni è: (1,2,1,0)+<(3,2,0,1), (1,0,1,0)>
In teoria è semplice, ovvero basta prima scrivere un sistema omogeneo che sia soluzione del sottospazio, poi correggerlo in modo che sia soluzione anche del vettore (1,2,1,0).
Il sottospazio è descritto da quaterne del tipo: (3r+s,2r,s,r) , quindi mi basta scrivere un sistema omogeno nelle incognite x,y,z,t che sia soluzione del sottospazio.
2x - 3y -2z = 0
x - 3t - z = 0
Questo sistema deve appunto essere in due equazioni e quattro incognite.
Ora si tratta di correggerlo in modo che anche (1,2,1,0) sia soluzione:
2x - 3y - 2z = -6
x - 3t - z = 0
Il problema è: se io provo a fare il procedimento inverso, ovvero determinare la soluzione dell'ultimo sistema, cioè :
2x - 3y - 2z = -6
x - 3t - z = 0
Ottengo che x= 3t + z , y= 2+2t
Quindi le soluzioni sono del tipo (3t + z, 2 + 2t, z , t ). Quindi trovo (0,2,0,0) + <(3,2,0,1), (1,0,1,0)> che è diverso dalla varietà lineare di partenza! Cosa ho sbagliato?? Qualcuno può aiutarmi?
si scriva un sistema lineare il cui insieme delle soluzioni è: (1,2,1,0)+<(3,2,0,1), (1,0,1,0)>
In teoria è semplice, ovvero basta prima scrivere un sistema omogeneo che sia soluzione del sottospazio, poi correggerlo in modo che sia soluzione anche del vettore (1,2,1,0).
Il sottospazio è descritto da quaterne del tipo: (3r+s,2r,s,r) , quindi mi basta scrivere un sistema omogeno nelle incognite x,y,z,t che sia soluzione del sottospazio.
2x - 3y -2z = 0
x - 3t - z = 0
Questo sistema deve appunto essere in due equazioni e quattro incognite.
Ora si tratta di correggerlo in modo che anche (1,2,1,0) sia soluzione:
2x - 3y - 2z = -6
x - 3t - z = 0
Il problema è: se io provo a fare il procedimento inverso, ovvero determinare la soluzione dell'ultimo sistema, cioè :
2x - 3y - 2z = -6
x - 3t - z = 0
Ottengo che x= 3t + z , y= 2+2t
Quindi le soluzioni sono del tipo (3t + z, 2 + 2t, z , t ). Quindi trovo (0,2,0,0) + <(3,2,0,1), (1,0,1,0)> che è diverso dalla varietà lineare di partenza! Cosa ho sbagliato?? Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Anche alla seconda equazione ci vorrebbe -2z anziché -z!
EDIT: Palesemente errato quello che ho scritto!
EDIT: Palesemente errato quello che ho scritto!
Perchè?
x - 3t - z = 0 >>>> Verifico che (1,2,1,0) è soluzione: 1 - 3(0) -1 = 0
x - 3t - z = 0 >>>> Verifico che (1,2,1,0) è soluzione: 1 - 3(0) -1 = 0
nessuno? 
"bettyfromhell":
...
si scriva un sistema lineare il cui insieme delle soluzioni è: (1,2,1,0)+<(3,2,0,1), (1,0,1,0)>
...
Quindi trovo (0,2,0,0) + <(3,2,0,1), (1,0,1,0)> che è diverso dalla varietà lineare di partenza!
Ne sei sicuro/a?
Comunque, cerca di imparare ad usare le formule (segui link, usa il MathML se non conosci il LaTeX).
E' facile e rende i tuoi post molto più leggibili, soprattutto quelli un po' più lunghi come questo.
Ti ricordo che l'uso delle formule diventa obbligatorio dopo i 30 messaggi.
"cirasa":
[quote="bettyfromhell"]...
si scriva un sistema lineare il cui insieme delle soluzioni è: (1,2,1,0)+<(3,2,0,1), (1,0,1,0)>
...
Quindi trovo (0,2,0,0) + <(3,2,0,1), (1,0,1,0)> che è diverso dalla varietà lineare di partenza!
Ne sei sicuro/a?
[/quote]
No in effetti non ne sono sicura al 100% , però non so, perchè (0,2,0,0) è diverso da (1,2,1,0).. O va bene lo stesso?
Si devo capire come si mette il simbolo di sistema tramite le formule!
Devi solo pensarci un attimo
Le due varietà lineari (io solitamente li chiamo "sottospazi affini", individuati da un punto e da uno spazio direttore) $A_1=(1,2,1,0)+<(3,2,0,1),(1,0,1,0)>$ e $A_2=(0,2,0,0)+<(3,2,0,1),(1,0,1,0)>$ sono uguali.
Ci sono vari modi per vederlo.
Uno può essere la doppia inclusione, ovvero puoi provare che $A_1\subset A_2$ e $A_2\subset A_1$.
Oppure puoi ricordare qualche proprietà degli spazi affini. Visto che $A_1$ e $A_2$ hanno lo stesso spazio direttore, è suffuciente provare che il punto base di $A_2$ è in $A_1$ (o viceversa).
Per esempio digita \$ { ( x^2+y^2=1 ), ( x=0 ) :} \$ per ottenere $ { ( x^2+y^2=1 ), ( x=0 ) :} $
Naturalmente devi usare le formule sempre, non solo per i sistemi...
Le due varietà lineari (io solitamente li chiamo "sottospazi affini", individuati da un punto e da uno spazio direttore) $A_1=(1,2,1,0)+<(3,2,0,1),(1,0,1,0)>$ e $A_2=(0,2,0,0)+<(3,2,0,1),(1,0,1,0)>$ sono uguali.
Ci sono vari modi per vederlo.
Uno può essere la doppia inclusione, ovvero puoi provare che $A_1\subset A_2$ e $A_2\subset A_1$.
Oppure puoi ricordare qualche proprietà degli spazi affini. Visto che $A_1$ e $A_2$ hanno lo stesso spazio direttore, è suffuciente provare che il punto base di $A_2$ è in $A_1$ (o viceversa).
"bettyfromhell":
Si devo capire come si mette il simbolo di sistema tramite le formule!
Per esempio digita \$ { ( x^2+y^2=1 ), ( x=0 ) :} \$ per ottenere $ { ( x^2+y^2=1 ), ( x=0 ) :} $
Naturalmente devi usare le formule sempre, non solo per i sistemi...
Grazie mille, gentilissimo come sempre! 
Okkey la prossima volta userò sicuramente le formule per tutto quanto!
Okkey la prossima volta userò sicuramente le formule per tutto quanto!
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