Aiuto su sistema di equazioni differenziali

[Summerwind78]

Ciao a tutti

come al solito sono alle prese con i miei esercizi di cui capisco poco

dato il sistema di equazioni differenziali:

$\frac{d vec(x)}{dt} = vec(M) \cdot vec(X)$ con $vec(M) = ( ( a , b , 0 ),( b , c , 0 ),( 0 , 0 , d ) ) $

trovare la soluzione sapendo che $vec(x) (t=0) = vec(x_{0})$

usando una trasformazione della base di autovettori della matrice $vec(M)$


Ho pensato che la prima cosa da farsi fosse quella di calcolare gli autovalori di $vec(M)$ per poi ricavare i rispettivi autovettori, ma il polinomio caratteristico di $vec(M)$ mi viene:

$poly(vec(M))= -\lambda^{3} + (a+b+c)\lambda^{2} - (ac+bc+ab-b^{2})\lambda + abc - db^{2} = 0$

non so voi, ma io non ho idea di come trovare gli zeri di questo polinomio non avendo a disposizioni alcun valore numerico ma solo lettere.


Qualcuno potrebbe darmi un consiglio?


grazie

[Sk_Anonymous]

L'equazione caratteristica è fattorizzabile. Il modo più semplice per vederlo è calcolare il determinante con i complementi algebrici utilizzando la terza riga oppure la terza colonna.

[Summerwind78]

Grazie speculor... adesso che ci ho fatto caso, mi vergogno di aver posto la domanda


Ciao

[Summerwind78]

Effettivamente gli autovalori si trovano senza problemi, però ho poi dei seri problemi a trovare gli autovettori, due mi vengono nulli

sapresti darmi una mano per risolvere l'esercizio?

scusa, ma è la prima volta che affronto un sistema di equazioni differenziali

[Sk_Anonymous]

Una matrice simmetrica ammette sempre n autovalori reali, se contati con la propria molteplicità algebrica, ciascuno di essi ha la molteplicità geometrica uguale a quella algebrica, per questo la matrice è sempre diagonalizzabile. Più che un problema sulle equazioni differenziali lo vedrei un problema di algebra lineare. Ti invito a ripetere i conti.