Aiuto su endomorfismo!!
Sia $ f : \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3} $ l'endomorfismo definito dalle relazioni
$ f(1,0,0)=(2,0,h), f(2,1,0)=(4,2,0), f(0,1,1)=(0,1,1) $
con h parametro reale.
1. Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso, basi ed eventuali equazioni di $Im f$ e $Ker f$
2. Per h=0 trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche e se esiste, una base di autovettori.
Qualcuno sa come risolvere questo esercizio?
Nel ringraziarvi vi saluto anticipatamente..
$ f(1,0,0)=(2,0,h), f(2,1,0)=(4,2,0), f(0,1,1)=(0,1,1) $
con h parametro reale.
1. Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso, basi ed eventuali equazioni di $Im f$ e $Ker f$
2. Per h=0 trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche e se esiste, una base di autovettori.
Qualcuno sa come risolvere questo esercizio?
Nel ringraziarvi vi saluto anticipatamente..
Risposte
Ho spostato in algebra lineare. Sei pregato di fare attenzione alla sezione in futuro, grazie. Inoltre per favore metti il titolo in minuscolo, come da regolamento (per farlo clicca su "modifica" nel tuo intervento). Attenzione in futuro, grazie.
Grazie per le precisazioni! 
scusate ma sono nuovo nel forum...
scusate ma sono nuovo nel forum...
Per prima cosa, devi scrivere la rappresentazione matriciale dell'endomorfismo e ragionarci su.
1. Poiché (1,0,0),(2,1,0),(0,1,1) sono l.i. possiamo sceglierli come base del dominio,mentre per il codominio scegliamo la base canonica. Scrivendo la matrice si ha : $ ( ( 2 , 4 , 0 ),( 0 , 2 , 1),( h , 0 , 1 ) ) $
Il determinante di tale matrice è 4(h+1),quindi si annulla per h=-1.
Per$ h != -1 $il rango della matrice,quindi dim $imf$, è 3.Il $Kerf$ è di conseguenza 0 (dim$ cc(R)^3$ = dim $Imf$ +dim $kerf$).Essendo questo un caso banale non è necessario cercare equazioni o basi.
Per h=-1,il rango è 2,perciò dim $kerf $=1.Come base di $Imf$ puoi scegliere i vettori che formano le prime due colonne della matrice ( (2,0,-1),(4,2,0) ).Per trovare le equazioni basta porre uguale a 0 il determinante della seguente matrice :$ ( ( 2 , 4 , x ),( 0 , 2 , y ),( -1 , 0 , 1 ) )$ ,$ x-2y+2z=0$.
Per le equazioni cartesiane di $kerf$ devi moltiplicare un generico vettore (x,y,z) per la matrice : $ ( ( 2 , 4 , 0 ),( 0 , 2 , 1),(-1 , 0 , 1 ) ) * ((x),(y),(z)) $ ,ottieni tre equazioni (una la puoi tralasciare,proprio perché il rango è 2).Infine trovi un vettore appartenente a questo spazio vettoriale(per es : (-2,1,-2) )
2. Devi risolvere il sistema :
$ {(f(e_1)=2e_1 ),(2f(e_1)+f(e_2)=4e_1+2e_2 ),(f(e_2 )+f(e_3)=e_2+e_3 ):} $
e ottieni :
$ { ( f(e_1)=2e_1 ),( f(e_2)=2e_2 ),( f(e_3)=-e_2+e_3 ):} $
quindi la matrice cercata è : $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
gli autovalori sono 2 con molteplicità 2 e 1(si verifica facilmente che è un endomorfismo semplice)
gli autovettori basta trovare gli autospazi(sono solo calcoli,che mi evito
)
Il determinante di tale matrice è 4(h+1),quindi si annulla per h=-1.
Per$ h != -1 $il rango della matrice,quindi dim $imf$, è 3.Il $Kerf$ è di conseguenza 0 (dim$ cc(R)^3$ = dim $Imf$ +dim $kerf$).Essendo questo un caso banale non è necessario cercare equazioni o basi.
Per h=-1,il rango è 2,perciò dim $kerf $=1.Come base di $Imf$ puoi scegliere i vettori che formano le prime due colonne della matrice ( (2,0,-1),(4,2,0) ).Per trovare le equazioni basta porre uguale a 0 il determinante della seguente matrice :$ ( ( 2 , 4 , x ),( 0 , 2 , y ),( -1 , 0 , 1 ) )$ ,$ x-2y+2z=0$.
Per le equazioni cartesiane di $kerf$ devi moltiplicare un generico vettore (x,y,z) per la matrice : $ ( ( 2 , 4 , 0 ),( 0 , 2 , 1),(-1 , 0 , 1 ) ) * ((x),(y),(z)) $ ,ottieni tre equazioni (una la puoi tralasciare,proprio perché il rango è 2).Infine trovi un vettore appartenente a questo spazio vettoriale(per es : (-2,1,-2) )
2. Devi risolvere il sistema :
$ {(f(e_1)=2e_1 ),(2f(e_1)+f(e_2)=4e_1+2e_2 ),(f(e_2 )+f(e_3)=e_2+e_3 ):} $
e ottieni :
$ { ( f(e_1)=2e_1 ),( f(e_2)=2e_2 ),( f(e_3)=-e_2+e_3 ):} $
quindi la matrice cercata è : $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
gli autovalori sono 2 con molteplicità 2 e 1(si verifica facilmente che è un endomorfismo semplice)
gli autovettori basta trovare gli autospazi(sono solo calcoli,che mi evito
)
Grazie mille per la risposta... quindi per trovare la base di autovettori (dopo aver calcolato il polinomio caratteristico e trovato gli autovalori) si agisce in questo modo?
Per il calcolo degli autovettori $t=2 $ e $t=1$ uso la formula $ A*v=t*v $
quindi:
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 2x=2x ), ( 2y-z=2y ), ( z=2z ) ) $
risolvendo il sistema gli autovettori relativi all'autovalore $ t=2 $ sono: $ x=x , y=y , z=0 $
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 2x=x ), ( 2y-z=y ), ( z=z ) ) $
risolvendo il sistema gli autovettori relativi all'autovalore $ t=1 $ sono: $ x=0 , y=0 , z=z $
Invece ancora non mi è chiaro come sei arrivato a trovarti $ Ker f $ e $ Im f $....
potresti spiegarmi passo passo il procedimento
Se ho sbagliato qualcosa (e di sicuro l’ho fatto) corrigeretemi!
Per il calcolo degli autovettori $t=2 $ e $t=1$ uso la formula $ A*v=t*v $
quindi:
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 2x=2x ), ( 2y-z=2y ), ( z=2z ) ) $
risolvendo il sistema gli autovettori relativi all'autovalore $ t=2 $ sono: $ x=x , y=y , z=0 $
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 2x=x ), ( 2y-z=y ), ( z=z ) ) $
risolvendo il sistema gli autovettori relativi all'autovalore $ t=1 $ sono: $ x=0 , y=0 , z=z $
Invece ancora non mi è chiaro come sei arrivato a trovarti $ Ker f $ e $ Im f $....
potresti spiegarmi passo passo il procedimento Se ho sbagliato qualcosa (e di sicuro l’ho fatto) corrigeretemi!
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