Aiuto su dimostrazione [Operatori nilpotenti]
Ciao a tutti, stavo svolgendo degli esercizi in preparazione dell'esame, quando mi ritrovo davanti a questo esercizio :
Sia $T : RR^(2) rarr RR^(3)$ tale che $T^(3)=0, T^2!=0 $ . Dimostrare che:
• $Ker (T) sub Ker(T^ (2)) sub Ker(T^ (3)) = RR^(3). $
• $Ker (T) != Ker T^ (2)$ e $Ker T^ (2) != Ker T^ (3) $
• T non `e diagonalizzabile
Il mio problema sta proprio alla base della formulazione del quesito, non so proprio da dove cominciare. Qualcuno mi aiuta, anche solo a capire qual è la strada che devo intraprendere? Grazie in anticipo, e scusate per la poca leggibilità, ma non so perchè le potenze vengono attaccate alla T e non si leggono molto bene...
[xdom="Martino"]Ho specificato il titolo.[/xdom]
Sia $T : RR^(2) rarr RR^(3)$ tale che $T^(3)=0, T^2!=0 $ . Dimostrare che:
• $Ker (T) sub Ker(T^ (2)) sub Ker(T^ (3)) = RR^(3). $
• $Ker (T) != Ker T^ (2)$ e $Ker T^ (2) != Ker T^ (3) $
• T non `e diagonalizzabile
Il mio problema sta proprio alla base della formulazione del quesito, non so proprio da dove cominciare. Qualcuno mi aiuta, anche solo a capire qual è la strada che devo intraprendere? Grazie in anticipo, e scusate per la poca leggibilità, ma non so perchè le potenze vengono attaccate alla T e non si leggono molto bene...
[xdom="Martino"]Ho specificato il titolo.[/xdom]
Risposte
c'è qualcosa che non mi torna se $T$ va da $RR^2$ a $RR^3$ come faccio a comporre ancora con $T$?
mi spiego meglio sia $v\in RR^2$ allora $T(v)\in RR^3$ e adesso come faccio a fare $T(T(v))$?? visto che $T(v)\in RR^3$ e non in generale in $RR^2$??
mi spiego meglio sia $v\in RR^2$ allora $T(v)\in RR^3$ e adesso come faccio a fare $T(T(v))$?? visto che $T(v)\in RR^3$ e non in generale in $RR^2$??
Guarda personalmente non so proprio darti ulteriori chiarimenti sulla traccia, perchè brancolo nel buio più pesto! Il testo è proprio questo, ho rincontrollato per vedere se c'era stato qualche errore da parte mia, ma è proprio così che "recita".. Non saprei proprio come iniziare, per questo mi sono affidato a voi! 
forse suppongo che $T$ vada da $RR^3$ ad $RR^3$ altrimenti non ha senso la traccia!
Si magari c'è un errore a monte nella dicitura del testo...Supponiamo che sia così, come posso fare per la dimostrazione ?
Per dimostrare che $Ker(T) sube Ker(T^2)$ devi dimostrare che $AA x in Ker(T)$ si ha che $x in Ker(T^2)$
Ora, $x in Ker(T)$, implica $T(x)=ul0$, dunque $T^2(x)= T(T(x))=T(ul0)=ul0$, ovvero $x in Ker(T^2)$
Ora, $x in Ker(T)$, implica $T(x)=ul0$, dunque $T^2(x)= T(T(x))=T(ul0)=ul0$, ovvero $x in Ker(T^2)$
E per la diagonalizzabilità invece? Con questa ho capito come procedere con le prime 2 dimostrazioni, grazie!
per la diagonalizzabilità osserva che $T$ è nilpotente cioè $T^3=0$ quindi ha solo l'autovalore $0$ come autovalore e che molteplicità algebrica ha? e quella geometrica?
Ah ok, mi sfuggiva il modo in cui individuare l'autovalore. Ora mi resta da dimostrare che la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, e ho terminato. Grazie mille!
non potrà mai essere uguale a quella geometrica. perchè T non è diagonalizzabile!!!
Non ho detto che lo è, ho solo detto come teoricamente devo procedere per concludere la dimostrazione. Anche perchè ci sto ancora ragionando su per capire da dove prendere le molteplicità xD
Qual è l'unica matrice diagonalizzabile con autovalori tutti nulli? 
La matrice nulla! Mi sono "arrovellato il gulliver" invano allora! Dicesi perdersi in un bicchiere d'acqua 
Grazie a tutti per la disponibilità comunque! 
Grazie a tutti per la disponibilità comunque!
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