Aiuto sottospazi
Salve a tutti! Chiedo a voi perchè sono duro di comprendonio e non riesco proprio a capire come verificare se è un sottospazio vettoriale! 
Prendo per esempio un esercizio come questo:
dire se l'insieme delle soluzioni [tex](x,y)[/tex] della seguente equazione:
[tex]x^{2}-y^2=1[/tex]
è un sottospazio vettoriale di [tex]R^2[/tex]
grazie in anticipo!!!
Prendo per esempio un esercizio come questo:dire se l'insieme delle soluzioni [tex](x,y)[/tex] della seguente equazione:
[tex]x^{2}-y^2=1[/tex]
è un sottospazio vettoriale di [tex]R^2[/tex]
grazie in anticipo!!!
Risposte
Ciao, dobbiamo mostrare se valgono le tre proprietà dei sottospazi, riportate anche qui.
La cosa più semplice è partire dall'ultima: il vettore nullo di $RR^2$ ovvero $((0), (0))$ appartiene allo spazio delle soluzioni? Cioè è vero che $0^2 - 0^2 = 1$? No, quindi non è un sottospazio vettoriale. Fine.
Altrimenti si può anche mostrare che non è chiuso rispetto alla somma. Ad esempio due vettori-soluzione sono $((1), (0)), ((2), (\sqrt{3}))$ ma la loro somma $((3), (\sqrt{3}))$ non è soluzione dell'equazione proposta.
Altrimenti si può anche mostrare che non è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare: sia $v=((1), (0))$ il vettore-soluzione considerato e $\lambda = 2$ lo scalare. $\lambda v = ((2), (0))$ è soluzione? No.
La cosa più semplice è partire dall'ultima: il vettore nullo di $RR^2$ ovvero $((0), (0))$ appartiene allo spazio delle soluzioni? Cioè è vero che $0^2 - 0^2 = 1$? No, quindi non è un sottospazio vettoriale. Fine.
Altrimenti si può anche mostrare che non è chiuso rispetto alla somma. Ad esempio due vettori-soluzione sono $((1), (0)), ((2), (\sqrt{3}))$ ma la loro somma $((3), (\sqrt{3}))$ non è soluzione dell'equazione proposta.
Altrimenti si può anche mostrare che non è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare: sia $v=((1), (0))$ il vettore-soluzione considerato e $\lambda = 2$ lo scalare. $\lambda v = ((2), (0))$ è soluzione? No.
perfetto!! grazie milla ancora!! 
Prego! 
no via, son duro di coccio, questi sottospazi non mi riescono proprio cioè prendendo come esempio questo altro esercizio:
[tex]S=\{(x,y,z,t)\in R^4 : x+4y-t=0\}[/tex]
Dire se [tex]S[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]R^4[/tex]
cioè prendendo come esempio questo altro esercizio:[tex]S=\{(x,y,z,t)\in R^4 : x+4y-t=0\}[/tex]
Dire se [tex]S[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]R^4[/tex]
Dobbiamo sempre verificare le tre proprietà.
1. Il vettore nullo $((0), (0), (0), (0))$ appartiene allo spazio? Sì perchè $0+4*0-0=0$
2. Se $v, w \in S$ è vero che $(v+w) \in S$? Vediamo. Sia $v=((a_1), (b_1), (c_1), (a_1+4b_1))$ e $w = ((a_2), (b_2), (c_2), (a_2+4b_2))$. Allora $v+w = ((a_1+a_2), (b_1+b_2), (c_1+c_2), (a_1+4b_1+a_2+4b_2))$. Questo appartiene a $S$? Fai la verifica e vedrai che appartiene!
3. Se $v \in S$ è vero che $\lambda v \in S$? Vuoi provare tu?
1. Il vettore nullo $((0), (0), (0), (0))$ appartiene allo spazio? Sì perchè $0+4*0-0=0$
2. Se $v, w \in S$ è vero che $(v+w) \in S$? Vediamo. Sia $v=((a_1), (b_1), (c_1), (a_1+4b_1))$ e $w = ((a_2), (b_2), (c_2), (a_2+4b_2))$. Allora $v+w = ((a_1+a_2), (b_1+b_2), (c_1+c_2), (a_1+4b_1+a_2+4b_2))$. Questo appartiene a $S$? Fai la verifica e vedrai che appartiene!
3. Se $v \in S$ è vero che $\lambda v \in S$? Vuoi provare tu?
il problema è che non capisco come fare la verifica e capire se appartiene sempre a S! cioè come faccio a capire, dopo che ho eseguito le operazioni di somma, che [tex]v+w \in S[/tex]?
cioè come faccio a capire, dopo che ho eseguito le operazioni di somma, che [tex]v+w \in S[/tex]?
Devi verificare se soddisfa l'equazione che descrive $S$, quindi devi chiederti se$$
(a_1+a_2)+4(b_1+b_2)-(a_1+4b_1+a_2+4b_2)
$$è uguale a zero oppure no. Ovviamente sì, quindi anche il vettore somma appartiene a $S$.
(a_1+a_2)+4(b_1+b_2)-(a_1+4b_1+a_2+4b_2)
$$è uguale a zero oppure no. Ovviamente sì, quindi anche il vettore somma appartiene a $S$.
:O chiarissimo come sempre! grazie mille!
Prego! Prova a verificare la terza e fammi sapere se hai altri dubbi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo