Aiuto risoluzione matrice parametro a
Mi sto esercitando risolvendo matrici. Mi imbatto in questa:
Studiare, al variare del parametro a € R , il sistema lineare:
ax + y + z = 3 a
2x y = 0
x + 2y z = 0
e determinarne le soluzioni quando e' possibile.
Faccio operazioni tra la seconda e la terza e la prima e la seconda e mi ritrovo:
A= $((a,1,1,3-a),(0,-2/a,1/a,(a-3)/a),(0,-5,2,0))$ la quarta colonna è quella dei termini noti
Poi ancora: sommo alla terza riga, la seconda moltiplicata per -2,5a e mi ritrovo
A= $((a,1,1,3-a),(0,-2/a,1/a,(a-3)/a),(0,0,-8,-2.5a))$ con la quarta colonna dei termini noti
Mi sembrano numeri un po forzati...ho sbagliato qualcosa? oppure ho fatto bene e procedo dicendo che il sistema è sempre possibile fatta eccezione in cui "a" rende impossibile il sistema (per es nella terza riga a=0)?
Grazie mille per la disponibilità
Studiare, al variare del parametro a € R , il sistema lineare:
ax + y + z = 3 a
2x y = 0
x + 2y z = 0
e determinarne le soluzioni quando e' possibile.
Faccio operazioni tra la seconda e la terza e la prima e la seconda e mi ritrovo:
A= $((a,1,1,3-a),(0,-2/a,1/a,(a-3)/a),(0,-5,2,0))$ la quarta colonna è quella dei termini noti
Poi ancora: sommo alla terza riga, la seconda moltiplicata per -2,5a e mi ritrovo
A= $((a,1,1,3-a),(0,-2/a,1/a,(a-3)/a),(0,0,-8,-2.5a))$ con la quarta colonna dei termini noti
Mi sembrano numeri un po forzati...ho sbagliato qualcosa? oppure ho fatto bene e procedo dicendo che il sistema è sempre possibile fatta eccezione in cui "a" rende impossibile il sistema (per es nella terza riga a=0)?
Grazie mille per la disponibilità
Risposte
"Alpot":
Studiare, al variare del parametro a 2 R , il sistema lineare:
ax + y + z = 3 a
2x y = 0
x + 2y z = 0
Ciao, purtroppo devo dirti che non si capisce nulla del sistema (mancano anche dei segni). Per favore cerca di usare le formule (trovi la guida qui).
Hai ragione, scusami. Ho cambiato...l'unico problema rimane per la colonna dei termini noti che non so separarla dal resto...
Ok, però volevo vedere il sistema dall'inizio: è giusto così? ${(ax+y+z=3-a), (2x-y=0), (x+2y-z=0):}$
Si è giusto, scusami ho dimenticato di correggere il sistema all'inizio..
Ok, allora scrivo la matrice completa:
\[
\left (
\begin{array} {ccc|c}
a & 1 & 1 & 3-a \\
2 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right )
\]Secondo me Gauss non conviene (se proprio lo vuoi fare almeno cambia l'ordine delle righe e porta l'$1$ in alto). Direi di procedere così: calcolo il determinante dell'incompleta, che viene $a+7$. Allora $AA a != -7$ il determinante è diverso da $0$, quindi il rango dell'incompleta è $3$, uguale a quello della completa e massimo $rArr$ il sistema ammette soluzione unica, che si può trovare con Cramer.
Se invece $a=-7$ andiamo a sostituire e troviamo la seguente matrice
\[
\left (
\begin{array} {ccc|c}
-7 & 1 & 1 & 10 \\
2 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right )
\]L'incompleta ha ovviamente rango $2$ mentre con qualche calcolo (tra l'altro breve) si scopre che la completa ha rango $3$, quindi per $a=-7$ il sistema non è risolvibile.
Ti torna?
\[
\left (
\begin{array} {ccc|c}
a & 1 & 1 & 3-a \\
2 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right )
\]Secondo me Gauss non conviene (se proprio lo vuoi fare almeno cambia l'ordine delle righe e porta l'$1$ in alto). Direi di procedere così: calcolo il determinante dell'incompleta, che viene $a+7$. Allora $AA a != -7$ il determinante è diverso da $0$, quindi il rango dell'incompleta è $3$, uguale a quello della completa e massimo $rArr$ il sistema ammette soluzione unica, che si può trovare con Cramer.
Se invece $a=-7$ andiamo a sostituire e troviamo la seguente matrice
\[
\left (
\begin{array} {ccc|c}
-7 & 1 & 1 & 10 \\
2 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right )
\]L'incompleta ha ovviamente rango $2$ mentre con qualche calcolo (tra l'altro breve) si scopre che la completa ha rango $3$, quindi per $a=-7$ il sistema non è risolvibile.
Ti torna?
Ho capito, grazie mille. Credo che il mio problema soprattutto fosse che mi ostinassi a voler verificare le ipotesi di "a" solo una volta ridotta la matrice nella forma a scala. Non vorrei abusare del tuo aiuto ma mi viene un dubbio. Se allora dovessi fare un esercizio simile ma con matrice non quadrata tipo 4x3, non potendo calcolare il determinante come potrei procedere?
"Alpot":
Ho capito, grazie mille. Credo che il mio problema soprattutto fosse che mi ostinassi a voler verificare le ipotesi di "a" solo una volta ridotta la matrice nella forma a scala. Non vorrei abusare del tuo aiuto ma mi viene un dubbio. Se allora dovessi fare un esercizio simile ma con matrice non quadrata tipo 4x3, non potendo calcolare il determinante come potrei procedere?
In quel caso direi che ti converrebbe partire da un minore sicuramente invertibile e orlarlo.
Se hai qualche esercizio che ti dà problemi postalo che lo guardiamo!
Grazie mille ti sono davvero grato! Ho appena tentato di svolgere un esercizio del genere:
Studiare, al variare del parametro a € R , il sistema lineare
${(x + 2y + az = 1),(3x + y = 2a),(ax - y -z = 0), (2x - z = 0):}$
Ho usato Gauss di nuovo e dopo aver scambiato l'ordine delle equazioni e aver portato lo zero alla prima seconda e quarta:
$((1,-1,-1,0),(0,4,3,-6a),(0,3,a+1,1), (0,2,1,0))$ con quarta colonna equivalente a quella dei termini noti
Poi ho portato 2 nuovi zeri sulla terza e la seconda riga e le ho scambiate:
$((1,-1,-1,0), (0,2,1,0), (0,0,1,-6a), (0,0,a+5/2,1))$
Probabilmente avrei dovuto procedere in maniera diversa ma le mie doti matematiche come puoi vedere non sono elevate...
Comunque quello che posso trarre dal sistema è che non ha soluzioni essendo in conflitto la terza e la quarta riga...
Studiare, al variare del parametro a € R , il sistema lineare
${(x + 2y + az = 1),(3x + y = 2a),(ax - y -z = 0), (2x - z = 0):}$
Ho usato Gauss di nuovo e dopo aver scambiato l'ordine delle equazioni e aver portato lo zero alla prima seconda e quarta:
$((1,-1,-1,0),(0,4,3,-6a),(0,3,a+1,1), (0,2,1,0))$ con quarta colonna equivalente a quella dei termini noti
Poi ho portato 2 nuovi zeri sulla terza e la seconda riga e le ho scambiate:
$((1,-1,-1,0), (0,2,1,0), (0,0,1,-6a), (0,0,a+5/2,1))$
Probabilmente avrei dovuto procedere in maniera diversa ma le mie doti matematiche come puoi vedere non sono elevate...
Comunque quello che posso trarre dal sistema è che non ha soluzioni essendo in conflitto la terza e la quarta riga...
"Alpot":
Comunque quello che posso trarre dal sistema è che non ha soluzioni essendo in conflitto la terza e la quarta riga...
Non capisco perchè dici questo... Se i calcoli sono corretti (ammetto di non averli controllati) si ricava
${(z=-6a), (z=1/(a+5/2)):} rarr -6a = 1/(a+5/2) rarr ...$ che non è impossibile (anche se come cosa mi sembra un po' strana).
In ogni caso io sarei partito dalla matrice completa
\[
\left (
\begin{array} {ccc|c}
1 & 2 & a & 1 \\
3 & 1 & 0 & 2a \\
a & -1 & -1 & 0 \\
2 & 0 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right )
\]Dal teorema di Rouchè Capelli si sa che il sistema è risolvibile se il rango dell'incompleta è uguale a quello della completa. Ma se la completa ha rango $4$ l'incompleta è fregata (termine molto tecnico), visto che è una $4xx3$ e avrà rango massimo pari a $3$. Quindi la completa non deve avere rango $4 rArr$ deve avere determinante nullo.
Calcolo il determinante della completa e lo uguaglio a $0$. Viene
$8a^2 - 7a - 1 = 0 rarr a=1 vv a=-1/8$ che sono gli unici valori di $a$ per cui il sistema potrebbe essere risolvibile. Si sostituiscono e si vede cosa viene fuori.
ok, sto capendo 
! Un'ultima cosa: come fai a calcolare il determinante se non è una matrice quadrata?
! Un'ultima cosa: come fai a calcolare il determinante se non è una matrice quadrata?
"Alpot":
ok, sto capendo
Non puoi, il determinante esiste solo per le matrici quadrate! Infatti io dicevo di calcolare il determinante della completa, che è quadrata.
ah giusto 4x4 ...Ok grazie mille per tutto!
"Alpot":
ah giusto 4x4 ...Ok grazie mille per tutto!
Di niente! Se hai altri dubbi chiedi pure!
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