Aiuto!! "f" e "g" biettive implicano GoF biettiva?
...ciao a tutti non ho capito bene la spiegazione della prof. e volevo chiedervi se potevate spiegarmi come faccio a dimostrare queste implicazioni (in casi generici, se possibile)..grazie in anticipo a tutti..
1)se ho 2 funzioni entrambe biettive f,g implica ke la funzione g composto f è biettiva?
2)se ho una funzione f composto g implica ke le 2 funzioni g ed f sono biettive?
1)se ho 2 funzioni entrambe biettive f,g implica ke la funzione g composto f è biettiva?
2)se ho una funzione f composto g implica ke le 2 funzioni g ed f sono biettive?
Risposte
Se \(f\) e \(g\) sono biettive, allora anche la funzione composta \(f \, g\) lo è. E' infatti invertibile essendo \(g^{-1} \, f^{-1}\) la sua inversa come è immediato verificare.
Se abbiamo invece una funzione biettiva \( h = f \, g \) non è detto che \(f\) e \(g\) lo siano. Basta infatti considerare le mappe \(g \, x = 2 \, x\) e \( f \, x = \lfloor x / 2 \rfloor \) entrambe definite su tutti gli interi verso gli interi. Nessuna delle due funzioni è biettiva ma \( (f \, g) \, x = f \, (g \, x) = f \, (2 \, x) = \lfloor (2 \, x) / 2 \rfloor = x \) che essendo l'identità è certamente biettiva. E' però per esempio possibile dire se una delle due è iniettiva o suriettiva? Se sì, quale? Perché?
Se abbiamo invece una funzione biettiva \( h = f \, g \) non è detto che \(f\) e \(g\) lo siano. Basta infatti considerare le mappe \(g \, x = 2 \, x\) e \( f \, x = \lfloor x / 2 \rfloor \) entrambe definite su tutti gli interi verso gli interi. Nessuna delle due funzioni è biettiva ma \( (f \, g) \, x = f \, (g \, x) = f \, (2 \, x) = \lfloor (2 \, x) / 2 \rfloor = x \) che essendo l'identità è certamente biettiva. E' però per esempio possibile dire se una delle due è iniettiva o suriettiva? Se sì, quale? Perché?
credo ke si possa stabilire l'iniettività solo nella funzione G mentre la suriettività solo nella F....
Sapresti dimostrarlo?
no 
Ma ci hai provato? Prova a farlo per assurdo...
Ricordati che una funzione biettiva è anche iniettiva e suriettiva. Prova a vedere che conseguenze hanno queste due proprietà applicate alla composizione di due funzioni. È possibile che \( f \, g : A \to C \) sia suriettiva e che \( f : B \to C \) non lo sia? È cioè possibile che esista un elemento di \( c \in C \) tale che \( (f \, g) \, a = c \) per un qualche \( a \in A \), ma non esista un \( b \in B \) tale che \( f \, b = c \) ? È possibile che \( g : A \to B \) non sia iniettivo, ma che \( f \, g \) sia invece iniettivo? È cioè possibile che esistano due elementi \( a_1, a_2 \in A \) tali che \( g \, a_1 = g \, a_2 \), ma tali che \( (f \, g) \, a_1 \neq (f \, g) \, a_2\) ?
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