Aiuto per trovare delle dimostrazioni
Salve a tutti,
ho un problema enorme. Sul mio carissimo libro di g&a non ci sono più della metà delle dimostrazioni che devo portare all'esame. Dal momento che nessuno di quegli infami dei miei compagni di corso vuole prestarmi il quaderno con gli appunti (io ho avuto difficoltà a seguire) sono costretto a rivolgermi altrove. Qualcuno sa dove posso trovare le seguenti dimostrazioni please?
• La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione del piano.
• il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
• Le applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici sono tutte e sole le funzioni del tipo f(X)=AX, con A matrice mxn.
• Associazione della matrice M_{B’B}(f) di una applicazione lineare f, fissate le basi B nello spazio di partenza e B’ in quello di arrivo. Determinazione dell’espressione esplicita f(x1, x2, …xn) di una applicazione lineare, assegnate le immagini dei vettori di una base B dello spazio di partenza.
• Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
• Autovettori reletivi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
•
• Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
• La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
ho un problema enorme. Sul mio carissimo libro di g&a non ci sono più della metà delle dimostrazioni che devo portare all'esame. Dal momento che nessuno di quegli infami dei miei compagni di corso vuole prestarmi il quaderno con gli appunti (io ho avuto difficoltà a seguire) sono costretto a rivolgermi altrove. Qualcuno sa dove posso trovare le seguenti dimostrazioni please?
• La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione del piano.
• il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
• Le applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici sono tutte e sole le funzioni del tipo f(X)=AX, con A matrice mxn.
• Associazione della matrice M_{B’B}(f) di una applicazione lineare f, fissate le basi B nello spazio di partenza e B’ in quello di arrivo. Determinazione dell’espressione esplicita f(x1, x2, …xn) di una applicazione lineare, assegnate le immagini dei vettori di una base B dello spazio di partenza.
• Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
• Autovettori reletivi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
•
• Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
• La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
Risposte
@nostradamus1915,
ma tu proprio non riesci a dimostrare qualcosa? dai, i punti:
• il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
• Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
• Autovettori reletivi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
• Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico;
• La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza;
non sono difficili.. provaci
, magari ci prendi gusto a dimostrare..!!
Saluti
"nostradamus1915":
Salve a tutti,
ho un problema enorme. Sul mio carissimo libro di g&a non ci sono più della metà delle dimostrazioni che devo portare all'esame. Dal momento che nessuno di quegli infami dei miei compagni di corso vuole prestarmi il quaderno con gli appunti (io ho avuto difficoltà a seguire) sono costretto a rivolgermi altrove. Qualcuno sa dove posso trovare le seguenti dimostrazioni please?
• La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione del piano.
• il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
• Le applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici sono tutte e sole le funzioni del tipo f(X)=AX, con A matrice mxn.
• Associazione della matrice M_{B’B}(f) di una applicazione lineare f, fissate le basi B nello spazio di partenza e B’ in quello di arrivo. Determinazione dell’espressione esplicita f(x1, x2, …xn) di una applicazione lineare, assegnate le immagini dei vettori di una base B dello spazio di partenza.
• Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
• Autovettori reletivi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
•
• Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
• La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
ma tu proprio non riesci a dimostrare qualcosa? dai, i punti:
• il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
• Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
• Autovettori reletivi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
• Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico;
• La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza;
non sono difficili.. provaci
, magari ci prendi gusto a dimostrare..!!Saluti
Eh studio ingegneria informatica, tra tutti gli esami che devo dare già è tanto se riesco a dedicare un pezzetto di tempo a questa materia. Se mi dovessi mettere sotto a cercare di dimostrare tutti i teoremi (alcuni li ho già dimostrati da me) non darei manco un esame!
"nostradamus1915":
• Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
Guarda qui.
@nostradamus1915,
ho metodo di studio diverso..
, cmq sia nel dimostrare:
sperando sai di cosa si parla in quelle proprietà, devi fare vedere che è vera l'impicazione, avendo per ipotesi \( f \in Hom_K(V,W) \): $$V=\mathcal{L}\{(v_1,v_2,...,v_m)\} \to im(f)=f(V)=\mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} $$ non è tanto difficile, in sostanza dobbiamo verificare l'uguaglianza tra insiemi, e per l'insiemistica possiamo scrivere $$f(V)\subseteq \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \wedge \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \subseteq f(V) $$ ovvero $$\forall x \in f(V)(x \in \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} ) \wedge \forall z \in \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} (z \in f(V))$$ quindi, prendiamo un \( x \in f(V) \) e certamente \( x=f(r) \) con \( r \in V \), se \( r \in V \) allora per ipotesi \( r \in \mathcal{L}\{(v_1,v_2,...,v_m)\} \), ovvero \( \exists \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m(r=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_mv_m) \) e sostituendo avremo, quindi \( x=f(r)=f(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_mv_m)\), ricordando che per ipotesi \( f \in Hom_K(V,W) \), si ha \( x=f(r)=f(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_mv_m)=\alpha_1f(v_1)+\alpha_2f(v_2)+...+\alpha_mf(v_m) \) dimostrando cosi che \( x \in \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \) e quindi che \( f(V) \subseteq \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m)) \) ... adesso manca da dimostrare che \( \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \subseteq f(V) \).. prova tu, scrivi come faresti
! Una volta che lo dimostri hai verificato le due condizioni della tesi e quindi potrai dire con tutta semplicità \( im(f)=f(V)=\mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \)...
P.S.=Ti prego di usare l'apposita codifica per le formule, potrei sbagliare ad interpretare quello che scrivi...
che intendi per associato? Nei miei studi non ho mai incontrato questa definizione, ho sempre visto le seguenti definizioni:
Def.: siano dati \( f \in End_K(V) \), ed \(v \in V \), \( v \) è autovettore per \( f \) se \( v \neq 0_V \wedge \exists \alpha \in k(f(v)=\alpha v )\)
Def.: siano dati \( f \in End_K(V) \), ed \( \alpha \in K \), \( \alpha \) è autovalore (o: autoscalare) per \( f\) se \( \exists v \in V(v \neq 0_V \wedge f(v)=\alpha v )\)
Si dimostra la seguente:
Prop: siano dati \( f \in End_K(V) \), ed \(v \in V \), se \( v \) è autovettore per \( f \) allora \( \exists ! \alpha \in k(f(v)=\alpha v)\)
Dim.: molto semplice, la dimostrazione in questo caso la si può condurre per assurdo, quindi ipotizziamo che esista un altro \( \beta \in k((f(v)=\beta v)\) e \( \beta \neq \alpha \), quindi per ipotesi avremo \( f(v)=\alpha v \) e \( f(v) =\beta v \), sappiamo certamente che \( f(v)-f(v)=0_V \) e con le ipotesi a disposizione \( \alpha v-\beta v=0_V \), ovvero \( (\alpha - \beta)v=0_V \), e per una proprietà sugli spazi vettoriale $$ (\alpha - \beta)v=0 \to \alpha-\beta=0_K \vee v=0_V $$ analizzando per casi cosa avremo? Continua tu..
P.S.=Se ti vengono in mente altri percorsi nella dimostrazione non esitare a scriverli!
Per quanto riguarda l'autspazio relativo ad un autovalore devi verificare le seguenti condizioni, indichiamo con \( E_a^f \), l'autospazio relativo all'autovalore \( a \) rispetto ad \( f \):
\(1)\) \( \forall b,c \in E_a^f(b+c \in E_a^f)\)
\(2)\) \( \forall o \in k, p \in E_a^f(o p \in E_a^f )\)
\(3)\) \( 0_v \in E_a^f \)
Ovviamente la \( 3 \) è facile facile per definizione di \( E_a^f \), ricordo che \( E_a^f=\{x|x \in V \wedge f(x)=ax \}\), come faresti?
Saluti
"nostradamus1915":
Eh studio ingegneria informatica, tra tutti gli esami che devo dare già è tanto se riesco a dedicare un pezzetto di tempo a questa materia. Se mi dovessi mettere sotto a cercare di dimostrare tutti i teoremi (alcuni li ho già dimostrati da me) non darei manco un esame!
ho metodo di studio diverso..
, cmq sia nel dimostrare:il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
sperando sai di cosa si parla in quelle proprietà, devi fare vedere che è vera l'impicazione, avendo per ipotesi \( f \in Hom_K(V,W) \): $$V=\mathcal{L}\{(v_1,v_2,...,v_m)\} \to im(f)=f(V)=\mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} $$ non è tanto difficile, in sostanza dobbiamo verificare l'uguaglianza tra insiemi, e per l'insiemistica possiamo scrivere $$f(V)\subseteq \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \wedge \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \subseteq f(V) $$ ovvero $$\forall x \in f(V)(x \in \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} ) \wedge \forall z \in \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} (z \in f(V))$$ quindi, prendiamo un \( x \in f(V) \) e certamente \( x=f(r) \) con \( r \in V \), se \( r \in V \) allora per ipotesi \( r \in \mathcal{L}\{(v_1,v_2,...,v_m)\} \), ovvero \( \exists \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m(r=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_mv_m) \) e sostituendo avremo, quindi \( x=f(r)=f(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_mv_m)\), ricordando che per ipotesi \( f \in Hom_K(V,W) \), si ha \( x=f(r)=f(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_mv_m)=\alpha_1f(v_1)+\alpha_2f(v_2)+...+\alpha_mf(v_m) \) dimostrando cosi che \( x \in \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \) e quindi che \( f(V) \subseteq \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m)) \) ... adesso manca da dimostrare che \( \mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \subseteq f(V) \).. prova tu, scrivi come faresti
! Una volta che lo dimostri hai verificato le due condizioni della tesi e quindi potrai dire con tutta semplicità \( im(f)=f(V)=\mathcal{L}\{(f(v_1),f(v_2),...,f(v_m))\} \)...P.S.=Ti prego di usare l'apposita codifica per le formule, potrei sbagliare ad interpretare quello che scrivi...
• Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
che intendi per associato? Nei miei studi non ho mai incontrato questa definizione, ho sempre visto le seguenti definizioni:
Def.: siano dati \( f \in End_K(V) \), ed \(v \in V \), \( v \) è autovettore per \( f \) se \( v \neq 0_V \wedge \exists \alpha \in k(f(v)=\alpha v )\)
Def.: siano dati \( f \in End_K(V) \), ed \( \alpha \in K \), \( \alpha \) è autovalore (o: autoscalare) per \( f\) se \( \exists v \in V(v \neq 0_V \wedge f(v)=\alpha v )\)
Si dimostra la seguente:
Prop: siano dati \( f \in End_K(V) \), ed \(v \in V \), se \( v \) è autovettore per \( f \) allora \( \exists ! \alpha \in k(f(v)=\alpha v)\)
Dim.: molto semplice, la dimostrazione in questo caso la si può condurre per assurdo, quindi ipotizziamo che esista un altro \( \beta \in k((f(v)=\beta v)\) e \( \beta \neq \alpha \), quindi per ipotesi avremo \( f(v)=\alpha v \) e \( f(v) =\beta v \), sappiamo certamente che \( f(v)-f(v)=0_V \) e con le ipotesi a disposizione \( \alpha v-\beta v=0_V \), ovvero \( (\alpha - \beta)v=0_V \), e per una proprietà sugli spazi vettoriale $$ (\alpha - \beta)v=0 \to \alpha-\beta=0_K \vee v=0_V $$ analizzando per casi cosa avremo? Continua tu..
P.S.=Se ti vengono in mente altri percorsi nella dimostrazione non esitare a scriverli!
Per quanto riguarda l'autspazio relativo ad un autovalore devi verificare le seguenti condizioni, indichiamo con \( E_a^f \), l'autospazio relativo all'autovalore \( a \) rispetto ad \( f \):
\(1)\) \( \forall b,c \in E_a^f(b+c \in E_a^f)\)
\(2)\) \( \forall o \in k, p \in E_a^f(o p \in E_a^f )\)
\(3)\) \( 0_v \in E_a^f \)
Ovviamente la \( 3 \) è facile facile per definizione di \( E_a^f \), ricordo che \( E_a^f=\{x|x \in V \wedge f(x)=ax \}\), come faresti?
Saluti
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