Aiuto per assi di una conica
Ciao a tutti.. Trovo difficoltà a determinare gli assi di una conica.
Io lavoro in coordinate omogenee e definisco gli assi come dei diametri aventi direzioni coniugate e ortogonali.
Se ho una conica di matrice $B$, devo trovare due direzioni $(h, k, 0) , (h', k', 0)$ tali che:
$(h,k,0)B((h'),(k'),(0))=0$, questo perchè devono essere coniugate, e
$hk'-h'k=0$ per l'ortogonalità.
Il punto è che mettendo a sistema le due equazioni non riesco a determinare i valori delle due direzioni...
mi potete dire dove sbaglio? forse dimentico di imporre qualche condizione, o ci sono proprio errori concettuali di fondo?
Grazie a tutti
Io lavoro in coordinate omogenee e definisco gli assi come dei diametri aventi direzioni coniugate e ortogonali.
Se ho una conica di matrice $B$, devo trovare due direzioni $(h, k, 0) , (h', k', 0)$ tali che:
$(h,k,0)B((h'),(k'),(0))=0$, questo perchè devono essere coniugate, e
$hk'-h'k=0$ per l'ortogonalità.
Il punto è che mettendo a sistema le due equazioni non riesco a determinare i valori delle due direzioni...
mi potete dire dove sbaglio? forse dimentico di imporre qualche condizione, o ci sono proprio errori concettuali di fondo?
Grazie a tutti
Risposte
Si pensi ad una conica a centro di matrice (rispetto al riferimento canonico):
$A=((abc),(bde),(cef))$
immersa nello spazio proiettivo bidimensionale, con retta impropria $x_0=0$: si consideri la sottomatrice
$A^{\prime}=((de),(ef))$
con autovettori $((a),(b))$,$((b),(-a))$ (si noti che la matrice $A^{\prime}$, in quanto simmetrica, ammette sempre una base di autovettori ortogonali (versione matriciale del teorema spettrale reale...)). Si considerino ora i punti $A_1=((0),(a),(b))$, $A_2=((0),(b),(-a))$, $C=((c_0),(c_1),(c_2))$ (centro della conica...)
Gli assi cercati sono le rette proiettive:
$a_1: A_1 + C$, $a_2: A_2 + C$.
N.B.: "$+$" sta per "sup", cioè indica la sottovarietà generata...
Se la conica è una parabola si usa il vertice al posto del centro...
$A=((abc),(bde),(cef))$
immersa nello spazio proiettivo bidimensionale, con retta impropria $x_0=0$: si consideri la sottomatrice
$A^{\prime}=((de),(ef))$
con autovettori $((a),(b))$,$((b),(-a))$ (si noti che la matrice $A^{\prime}$, in quanto simmetrica, ammette sempre una base di autovettori ortogonali (versione matriciale del teorema spettrale reale...)). Si considerino ora i punti $A_1=((0),(a),(b))$, $A_2=((0),(b),(-a))$, $C=((c_0),(c_1),(c_2))$ (centro della conica...)
Gli assi cercati sono le rette proiettive:
$a_1: A_1 + C$, $a_2: A_2 + C$.
N.B.: "$+$" sta per "sup", cioè indica la sottovarietà generata...
Se la conica è una parabola si usa il vertice al posto del centro...
ciao dorian! approfitto di questo post per chiedere qualche spiegazione proprio sulla matricetta che tu hai chiamato $A'$. Supponiamo che la conica sia affine (cosa del resto che non fa perdere moltaq generalità: solo l'iperpiano improprio non è il proiettificato di una curva affine, mi pare). Allora quella matrice contiene le informazioni relative ai termini di grado massimo della conica. La domanda è: quali sono le proprietà? Cosa rappresenta, geometricamente, quella matrice?
Per esempio: mi pare che se trasliamo la conica, quella matrice non subisce modifiche. E anche: i punti impropri della conica dipendono solo da quella matrice.
Spero che la domanda non sia troppo generica...eventualmente vedrò di precisare. ciao e grazie!
Per esempio: mi pare che se trasliamo la conica, quella matrice non subisce modifiche. E anche: i punti impropri della conica dipendono solo da quella matrice.
Spero che la domanda non sia troppo generica...eventualmente vedrò di precisare. ciao e grazie!
"dissonance":
ciao dorian! approfitto di questo post per chiedere qualche spiegazione proprio sulla matricetta che tu hai chiamato $A'$. Supponiamo che la conica sia affine (cosa del resto che non fa perdere moltaq generalità: solo l'iperpiano improprio non è il proiettificato di una curva affine, mi pare). Allora quella matrice contiene le informazioni relative ai termini di grado massimo della conica. La domanda è: quali sono le proprietà? Cosa rappresenta, geometricamente, quella matrice?
Per esempio: mi pare che se trasliamo la conica, quella matrice non subisce modifiche. E anche: i punti impropri della conica dipendono solo da quella matrice.
Spero che la domanda non sia troppo generica...eventualmente vedrò di precisare. ciao e grazie!
Buonasera Dissonance!
Sia $ax_0^2+2bx_0x_1+2cx_0x_2+dx_1^2+2ex_1x_2+fx_2^2=0$ l'equazione della conica in questione, rispetto al riferimento canonico. Essa ha matrice:
$A=((abc),(bde),(cef))$
L'intersezione della conica con la retta impropria è data dal sistema:
${((ax_0^2+2bx_0x_1+2cx_0x_2+dx_1^2+2ex_1x_2+fx_2^2=0),(x_0=0))$
e corrisponde, se vogliamo, ad una quadrica della retta proiettiva... Quindi il supporto di questa quadrica sarà formato da, al più, due punti.
Se questi due punti sono coincidenti (un punto "doppio") la conica si chiama Parabola, altrimenti Conica a centro. Nel secondo caso si distingue in conica con punti impropri reali (Iperbole) e non (Ellisse).
In particolare osserviamo che l'aver scelto proprio quella matrice $A'$ per la precedente discussione è conseguenza dell'aver posto $x_0=0$ retta all'infinito... In generale $A'$ è la matrice della quadrica indotta sulla retta impropria...
La matrice $A'$ ci permette di fare alcune interessanti osservazioni: per esempio, se $det(A')=0$ la conica è una parabola, se $det(A)<0$ è un'iperbole, altrimenti è un'ellisse...
Non capisco però cosa intendi per "traslare la conica"...
buonasera a lei!
Parlo di traslazione relativamente ad una conica affine: in generale intendo dire che se $C: P(x,y)=0$, e $T$ è una affinità di $K^2$, allora $T^(-1)(C): P(T(x,y))=0$, il che è motivato dal fatto che il supporto di $T^(-1)(C)$ è $T^(-1)({\text{supporto di C}})$. Se poi $T$ è una traslazione e $C$ è una conica, algebricamente vediamo che i termini di secondo grado di $T^(-1)(C)$ e di $C$ sono uguali. E'questo che mi fa intuitivamente associare in qualche maniera la matrice $A'$(*) alla giacitura di una retta affine. Però non riuscivo a formalizzare questo fatto.
Con la tua osservazione però forse ci riesco: in termini brutali $A'$ controlla la posizione della conica rispetto alla retta impropria.
Questa operazione, per le rette, in fondo la fa la giacitura: due rette sono parallele $iff$ hanno la stessa giacitura $iff$ hanno lo stesso punto improprio $iff$ hanno la stessa posizione rispetto alla retta impropria. Giusto?
Però non capisco una cosa: come fai a dire che la quadrica su ${X_0=0}$ definita da $A'$ ha almeno un punto nel suo supporto?
(edit) (*) Perché se consideriamo una conica affine in $x,y$, con chiusura proiettiva in $X_0, X_1, X_2$, e $X_0=0$ la retta impropria, allora $A'$ contiene esattamente i coefficienti dei termini di secondo grado.
Parlo di traslazione relativamente ad una conica affine: in generale intendo dire che se $C: P(x,y)=0$, e $T$ è una affinità di $K^2$, allora $T^(-1)(C): P(T(x,y))=0$, il che è motivato dal fatto che il supporto di $T^(-1)(C)$ è $T^(-1)({\text{supporto di C}})$. Se poi $T$ è una traslazione e $C$ è una conica, algebricamente vediamo che i termini di secondo grado di $T^(-1)(C)$ e di $C$ sono uguali. E'questo che mi fa intuitivamente associare in qualche maniera la matrice $A'$(*) alla giacitura di una retta affine. Però non riuscivo a formalizzare questo fatto.
Con la tua osservazione però forse ci riesco: in termini brutali $A'$ controlla la posizione della conica rispetto alla retta impropria.
Questa operazione, per le rette, in fondo la fa la giacitura: due rette sono parallele $iff$ hanno la stessa giacitura $iff$ hanno lo stesso punto improprio $iff$ hanno la stessa posizione rispetto alla retta impropria. Giusto?
Però non capisco una cosa: come fai a dire che la quadrica su ${X_0=0}$ definita da $A'$ ha almeno un punto nel suo supporto?
(edit) (*) Perché se consideriamo una conica affine in $x,y$, con chiusura proiettiva in $X_0, X_1, X_2$, e $X_0=0$ la retta impropria, allora $A'$ contiene esattamente i coefficienti dei termini di secondo grado.
"dissonance":
buonasera a lei!
Parlo di traslazione relativamente ad una conica affine: in generale intendo dire che se $C: P(x,y)=0$, e $T$ è una affinità di $K^2$, allora $T^(-1)(C): P(T(x,y))=0$, il che è motivato dal fatto che il supporto di $T^(-1)(C)$ è $T^(-1)({\text{supporto di C}})$. Se poi $T$ è una traslazione e $C$ è una conica, algebricamente vediamo che i termini di secondo grado di $T^(-1)(C)$ e di $C$ sono uguali. E'questo che mi fa intuitivamente associare in qualche maniera la matrice $A'$(*) alla giacitura di una retta affine. Però non riuscivo a formalizzare questo fatto.
Con la tua osservazione però forse ci riesco: in termini brutali $A'$ controlla la posizione della conica rispetto alla retta impropria.
Questa operazione, per le rette, in fondo la fa la giacitura: due rette sono parallele $iff$ hanno la stessa giacitura $iff$ hanno lo stesso punto improprio $iff$ hanno la stessa posizione rispetto alla retta impropria. Giusto?
Però non capisco una cosa: come fai a dire che la quadrica su ${X_0=0}$ definita da $A'$ ha almeno un punto nel suo supporto?
(edit) (*) Perché se consideriamo una conica affine in $x,y$, con chiusura proiettiva in $X_0, X_1, X_2$, e $X_0=0$ la retta impropria, allora $A'$ contiene esattamente i coefficienti dei termini di secondo grado.
Come prima cosa, dammi del tu!
Beh, se ci vanno bene anche punti a coordinate complesse, abbiamo sempre intersezione tra la retta e la conica.
Si, trovo che la tua osservazione sia corretta...
e certo... Per esempio una circonferenza punti impropri non ne ha, visto che si chiude su se stessa, ma è meglio dire che i punti impropri ce l'ha ma solo complessi. E questo sarà dovuto al fatto che $det A'>0$ (*), visto che tutte le ellissi ci fanno questo scherzo... almeno credo...
Quindi - conclusione - La famosa classificazione delle coniche (affini reali), in sostanza, dice che gli invarianti di una conica sono:
il rango;
la posizione rispetto alla retta impropria (che è più complicata se siamo in $RR$ - da qui la necessità di distinguere il segno di $det A'$ (*)).
Dici che è corretto?
Rimane l'ultimo punto che non mi è chiarissimo - se ti va di ascoltarmi un attimo poi ti lascio in pace!
Perché se il rango non è massimo la conica a volte si spezza in due rette, (o in una retta doppia, o in un punto solo) e altre volte no? Forse è un'anomalia dovuta alla non completezza algebrica di $RR$?
P.S.: è qui (*) che ho più difficoltà.
Quindi - conclusione - La famosa classificazione delle coniche (affini reali), in sostanza, dice che gli invarianti di una conica sono:
il rango;
la posizione rispetto alla retta impropria (che è più complicata se siamo in $RR$ - da qui la necessità di distinguere il segno di $det A'$ (*)).
Dici che è corretto?
Rimane l'ultimo punto che non mi è chiarissimo - se ti va di ascoltarmi un attimo poi ti lascio in pace!
Perché se il rango non è massimo la conica a volte si spezza in due rette, (o in una retta doppia, o in un punto solo) e altre volte no? Forse è un'anomalia dovuta alla non completezza algebrica di $RR$?
P.S.: è qui (*) che ho più difficoltà.
Se parliamo di circonferenza bisogna introdurre una metrica...
Comunque la tua classificazione mi sembra corretta... Due coniche con lo stesso rango e con la stessa posizione rispetto alla retta impropria sono affinemente equivalenti (cioè esiste un'affinità che manda una nell'altra).
Veniamo all'ultimo punto: come al solito le considerazioni di natura geometrica si possono studiare facilmente "traducendo" in linguaggio algebrico... Una conica il cui supporto è unione di due rette distinte ha equazione (dopo qualche manipolazione...) $(ax_0+bx_1+cx_2)*(dx_0+ex_1+fx_2)=0$ (se $a/d=b/e=c/f$ abbiamo che le due rette coincidono e si parla di "retta doppia"). Quindi possiamo concludere che la degenerazione del supporto di una conica ad una coppia di rette discende dalla possibilità di fattorizzare come detto l'equazione...
Spero di essere stato chiaro.
Comunque la tua classificazione mi sembra corretta... Due coniche con lo stesso rango e con la stessa posizione rispetto alla retta impropria sono affinemente equivalenti (cioè esiste un'affinità che manda una nell'altra).
Veniamo all'ultimo punto: come al solito le considerazioni di natura geometrica si possono studiare facilmente "traducendo" in linguaggio algebrico... Una conica il cui supporto è unione di due rette distinte ha equazione (dopo qualche manipolazione...) $(ax_0+bx_1+cx_2)*(dx_0+ex_1+fx_2)=0$ (se $a/d=b/e=c/f$ abbiamo che le due rette coincidono e si parla di "retta doppia"). Quindi possiamo concludere che la degenerazione del supporto di una conica ad una coppia di rette discende dalla possibilità di fattorizzare come detto l'equazione...
Spero di essere stato chiaro.
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