Aiuto geometria

[monetaria]

ragazzi sapreste dimostrarmi la bigezione tra i punti dello spazio e i vttori?

[Dorian1]

Si consideri la tripletta $(A,V,+)$, ove $A$ è un insieme (spazio affine) i cui elementi sono detti punti, $V$ spazio vettoriale (delle traslazioni) e $+$ è l'azione di $V$ su $A$, ovvero l'applicazione:

$+:A$x$V$->$A$ che al punto $P$ ed al vettore $v$ associa il punto $P+v$.

Lo spazio affine è soggetto ai seguenti 3 assiomi:
(1) NULLITARIETA': $P+0=P$ , $AA P in A$
(2) ASSOCIATIVITA': $P+(v+w)=(P+v)+w=(P+w)+v$, $AA v,w in V$, $AAP in A$
(3) $AA P,Q in A,E! v in V : P+v=Q$ (*) (presi due punti, esiste ed è unico il vettore che manda l'uno nell'altro...)

Fissato un punto $X in A$, esiste un'applicazione definita come segue:

$f:V->A$ che al vettore $v$ associa il punto $X+v$

Verifichiamo che $f$ è iniettiva: presi due vettori distinti, $v$ e $w$, i due punti $X+v$ e $X+w$ sono necessariamente diversi. Se così non fosse, contraddiremo l'unicità sancita in (3).
Verifichiamo che $f$ è suriettiva. Preso ad arbitrio un punto $P$ di $A$, l'esistenza del vettore $v$ che manda $X$ in $P$ è ancora una volta garantita da (3).
Si noti tuttavia che l'isomorfismo così definito non è canonico (dipende dalla scelta di $X$...)

(*) Talvolta si scrive $v=Q-P$...