Aiuto esercizio volume massimo
Ciao a tutti. Chiedo aiuto in questo esercizio che non riesco proprio a comprendere. Grazie
Dato un triangolo rettangolo isoscele ABC, di cateti AC=BC=a,considerata una parallele PP' al lato AB,determinare la posizione di questa parallela in modo che risulti massimo il volume del solido generato dal triangolo AP'P, in una rotazione completa attorno ad AB.
Grazie mille ancora
Dato un triangolo rettangolo isoscele ABC, di cateti AC=BC=a,considerata una parallele PP' al lato AB,determinare la posizione di questa parallela in modo che risulti massimo il volume del solido generato dal triangolo AP'P, in una rotazione completa attorno ad AB.
Grazie mille ancora
Risposte
Il problema si risolve calcolando somme e differenze di particolari coni ma può essere determinato con l'uso
del teorema di Pappo-Guldino. Procediamo come segue.
Fissiamo un riferimento cartesianio scegliendo il vertice C come origine, l'asse y su CB e l'asse x su CA.
Ponendo $CP=CP'=u$ ne segue che :
$C(0,0), B(0,a),A(a,0),P(u,0),P'(0,u)$
Inoltre Il baricentro $G$ del triangolo PAP' sarà dato da :$G((u+a)/3,u/3)$
L'area $S$ del triangolo $PAP'$ è: $S=1/2u|a-u|$. L'equazione della retta AB é $x+y-a=0$ e quindi la distanza $d$ del
punto G dal lato AB è : $d=\sqrt2/3|a-u|$
Per il teorema Pappo_Guldino il volume $V$ richiesto si ha come prodotto tra l'area della superficie che descrive il solido
e la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro di tale superficie nella rotazione richiesta. Pertanto risulta:
$V=1/2*u|a-u|*2\pi*\sqrt2/3|a-u|$
Ovvero:
$V=(\pi\sqrt2)/3 u(a-u)^2$
Prescindendo da costanti inessenziali per la soluzione del quesito, prendiamo la funzione :
$f(u)=u(a-u)^2,0
Per noti teoremi si può affermare che il massimo richiesto si ottiene con l'equazione:
$u/1=(a-u)/2$ da cui $u=1/3a$ che sostituito nel volume calcolato porta al volume massimo voluto:
$V_{max}={4\pi\sqrt2}/{81}a^3$
P.S.Controlla tutto il calcolo per favore...
del teorema di Pappo-Guldino. Procediamo come segue.
Fissiamo un riferimento cartesianio scegliendo il vertice C come origine, l'asse y su CB e l'asse x su CA.
Ponendo $CP=CP'=u$ ne segue che :
$C(0,0), B(0,a),A(a,0),P(u,0),P'(0,u)$
Inoltre Il baricentro $G$ del triangolo PAP' sarà dato da :$G((u+a)/3,u/3)$
L'area $S$ del triangolo $PAP'$ è: $S=1/2u|a-u|$. L'equazione della retta AB é $x+y-a=0$ e quindi la distanza $d$ del
punto G dal lato AB è : $d=\sqrt2/3|a-u|$
Per il teorema Pappo_Guldino il volume $V$ richiesto si ha come prodotto tra l'area della superficie che descrive il solido
e la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro di tale superficie nella rotazione richiesta. Pertanto risulta:
$V=1/2*u|a-u|*2\pi*\sqrt2/3|a-u|$
Ovvero:
$V=(\pi\sqrt2)/3 u(a-u)^2$
Prescindendo da costanti inessenziali per la soluzione del quesito, prendiamo la funzione :
$f(u)=u(a-u)^2,0
Per noti teoremi si può affermare che il massimo richiesto si ottiene con l'equazione:
$u/1=(a-u)/2$ da cui $u=1/3a$ che sostituito nel volume calcolato porta al volume massimo voluto:
$V_{max}={4\pi\sqrt2}/{81}a^3$
P.S.Controlla tutto il calcolo per favore...
grazie mille.ero riuscita anche io solo che sbagliavo un calcolo 
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